División de polinomios puede parecer la operación más desafiante e intimidante de dominar. Aún así, siempre que pueda recordar las reglas básicas sobre la división larga de números enteros, es un proceso sorprendentemente fácil.
Este artículo te mostrará cómo realizar la división entre dos monomios, un monomio y un polinomio, y por último, entre dos polinomios.
Antes de entrar en este tema de dividir polinomios, analicemos brevemente algunos términos importantes aquí.
Polinomio
A polinomio es una expresión algebraica formada por dos o más términos que se restan, suman o multiplican. Un polinomio puede contener coeficientes, variables, exponentes, constantes y operadores como suma y resta.
También es importante tener en cuenta que un polinomio no puede tener exponentes fraccionarios o negativos. Ejemplos de polinomios son; 3y2 + 2x + 5, x3 + 2 x 2-9 x - 4, 10 x 3 + 5 x + y, 4x2 - 5x + 7) etc.
Hay tres tipos de polinomios, a saber, monomio, binomio y trinomio.
- Monomio
Un monomio es una expresión algebraica con un solo término. Ejemplos de monomios son; 5, 2x, 3a2, 4xy, etc.
- Binomio
Un binomio es una expresión que contiene dos términos separados por el signo de suma (+) o el signo de resta (-). Ejemplos de expresiones binomiales son 2x + 3, 3x - 1, 2x + 5y, 6x − 3y, etc.
- Trinomio
Un trinomio es una expresión que contiene exactamente tres términos. Ejemplos de trinomios son:
4x2 + 9x + 7, 12pq + 4x2 - 10, 3x + 5x2 - 6x3 etc.
¿Cómo dividir polinomios?
La división es una operación aritmética de dividir una cantidad en cantidades iguales. El proceso de división a veces se denomina resta repetida o multiplicación inversa.
Hay dos métodos en matemáticas para dividir polinomios.
Estos son la división larga y el método sintético. Como sugiere el nombre, el método de división larga es el proceso más engorroso e intimidante de dominar. Por otro lado, el método sintético es un "diversión”Forma de dividir polinomios.
¿Cómo dividir un monomio por otro monomio?
Al dividir un monomio por otro monomio, dividimos los coeficientes y aplicamos la ley del cociente xm ÷ xn = xm - n a las variables.
NOTA: Cualquier número o variable elevado a la potencia de cero es 1. Por ejemplo, x0 = 1.
Probemos algunos ejemplos aquí.
ejemplo 1
Dividir 40x2 entre 10x
Solución
Divida los coeficientes primero
40 / 10 = 4
Ahora divide las variables usando la regla del cociente
x2 / x = x2 -1
= x
Multiplica el cociente de los coeficientes por los cocientes de las variables;
⟹ 4 * x = 4x
Alternativamente;
40x2 / 10x = (2 * 2 * 5 * 2 * x * x) / (2 * 5 * x)
Dado que x, 2 y 5 son factores comunes tanto del denominador como del numerador, los cancelamos para obtener;
⟹ 40x2 / 10x = 4x
ejemplo 2
Divide -15x3yz3 by -5xyz2
Solución
Divida los coeficientes normalmente y use la ley del cociente xm ÷ xn = xm - n para dividir las variables.
-15x3yz3 / -5xyz2 ⟹ (-15 / -5) x3 - 1y1 - 1z3 - 2
= 3 x2y0z1
= 3x2z.
ejemplo 3
Dividir 35x3yz2 por -7xyz
Solución
Usando la ley del cociente
35x3yz2 / -7xyz ⟹ (35 / -7) x3 - 1y1 - 1z2 - 1
= -5 x2y0z1
= -5x2z.
ejemplo 4
Dividir 8x2y3 por -2xy
Solución
8x2y3 / -2xy ⟹ (8 / -2) x2 - 1y3 - 1
= -4xy2.
¿Cómo dividir polinomios por monomios?
Para dividir un polinomio por un monomio, divida por separado cada término del polinomio por el monomio y sume el cociente de cada operación para obtener la respuesta.
Probemos algunos ejemplos aquí.
ejemplo 5
Divida 24x3 - 12xy + 9x entre 3x.
Solución
(24x3–12xy + 9x) / 3x ⟹ (24x3 / 3x) - (12xy / 3x) + (9x / 3x)
= 8x2 - 4y + 3
ejemplo 6
Dividir 20x3y + 12x2y2 - 10xy por 2xy
Solución
(20x3y + 12x2y2 - 10xy) / (2xy) ⟹ 20x3y / 2xy + 12x2y2 / 2xy - 10xy / 2xy
= 10x2 + 6xy - 5.
ejemplo 7
Dividir x6 + 7x5 - 5x4 por x2
Solución
= (x6 + 7x5 - 5x4) / (x2) ⟹ x6 / x2 + 7x5 / x2 - 5x4 / x2
Usa la ley del cociente para dividir las variables
= x4 + 7x3 - 5x2
ejemplo 8
Dividir 6x5 + 18x4 - 3x2 entre 3x2
Solución
= (6x5 + 18x4 – 3x2)/3x2 ⟹ 6x5/3x2 + 18x4/3x2 – 3x2/3x2
=2x3 + 6x2 – 1.
ejemplo 9
Divide 4m4n4 – 8m3n4 + 6mn3 by -2mn
Solución
= (4m4n4 – 8m3n4 + 6mn3)/(-2mn) ⟹ 4m4n4/- 2mn – 8m3n4/-2mn + 6mn3/-2mn
= 2m3n3 + 4m2n3 – 3n2
ejemplo 9
Resolver (a3 - a2b - a2b2) ÷ a2
Solución
= (a3 - a2b - a2b2) ÷ a2 ⟹ a3 / a2– a2b / a2 - a2b2 / a2
= a - b - b2
¿Cómo hacer una división larga de polinomios?
La división larga es el método más adecuado y confiable para dividir polinomios, aunque el procedimiento es un poco tedioso, la técnica es práctica para todos los problemas.
El proceso de dividir polinomios es similar a dividir números enteros o números usando el método de división larga.
Para dividir dos polinomios, estos son los procedimientos:
- Organiza tanto el divisor como el dividendo en orden descendente de sus grados.
- Divida el primer término del dividendo por el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente.
- Encuentre el producto de todos los términos del divisor y el cociente del primer término y reste la respuesta del dividendo.
- Si hay un resto en lo anterior, proceda como repita el procedimiento 3 hasta que obtenga cero como resto o obtenga una expresión que tenga un grado menor que el del divisor.
ejemplo 10
Divida los siguientes polinomios usando el método de división larga:
3x3 - 8x + 5 por x - 1
Solución
ejemplo 11
Dividir 12 - 14a² - 13a entre 3 + 2a.
Solución
ejemplo 12
Divida los polinomios a continuación:
10x⁴ + 17x³ - 62x² + 30x - 3 por (2x² + 7x - 1).
Solución
Preguntas de práctica
Divide los siguientes polinomios:
- 20x por 5x
- 50x 5y2 by10x4y2
- 4x3– 6x2 + 3x - 9 por 6x.
- 6x4– 8x3 + 12x - 4 por 2x2.
- 18xy + 22x3y -15xy2 por 3xy2
- 24x2y2 -16x2y -12xy3 por - 6x2y2
- 4a3– 10a2 + 5a por 2a
- a2 + ab - ac por –a
- 2x² + 3x + 1 por x + 1
- x² + 6x + 8 por x + 4
- 29x - 6x² - 28 por 3x -4).
- (x3 + 5x2 - 3x + 4) por (x2 + 1).
- 5x3 - x2 +6 por x - 4
- 4x4 −10x2 + 1 por x - 6
- 2x3 −3x - 5 por x + 2
- 9x2y + 12x3y2 - 15xy3por 6xy
