Anteriormente, repasamos cómo factorizar un trinomio cuadrático con un coeficiente principal de 1. A ese tipo de trinomio lo llamamos el “caso fácil”. Esta vez, trataremos con un trinomio que tiene un coeficiente principal distinto de cero no es igual a +1 o -1 que llamaremos "Estuche rígido".
Estuche rígido de un trinomio
Los siguientes son los pasos sugeridos que se utilizan para factorizar este tipo de trinomio "duro".
- Paso 1:: La estrategia básica para factorizar este trinomio “difícil” es multiplicar el coeficiente principal ay el último coeficiente c para obtener un cierto valor llamado k. Luego, encontramos un par de factores (dos números) de k tal que su suma (cuando se suma) nos da la constante media b.
- Paso 2:: El par de factores apropiado de k se utilizará para dividir el término medio en dos términos. Supongamos que el par de factores k = mn.
- Paso 3:: Ahora, agrúpelos en dos paréntesis pero mantenga el signo del medio fuera del paréntesis. El signo del medio puede ser positivo o negativo según la situación.
- Paso 4:: Factoriza cada paréntesis por completo. Después de hacerlo, las expresiones "sobrantes" dentro de cada paréntesis después de la factorización deben ser iguales. De lo contrario, retroceda y vuelva sobre sus pasos porque es más probable que haya cometido un error.
- Paso 5:: Y finalmente, dado que las expresiones “sobrantes” dentro de los dos paréntesis son iguales, ¡las factorizamos nuevamente para llegar a la respuesta final!
Esto será mucho más fácil una vez que apliquemos estos pasos usando ejemplos concretos. ¡Aquí vamos!
Ejemplos de cómo factorizar un trinomio (estuche rígido)
Ejemplo 1: Factoriza el trinomio 5x ^ 2 + 16x + 3 como un producto de dos binomios.
- Primero, multiplique las constantes principal y última del trinomio. El producto es 15.
- En segundo lugar, encuentre el par de factores (dos números) de 15 tal que su suma sea igual a la constante media, 16. Después de realizar algunas pruebas y errores, el SOLO La combinación correcta de dos números es 1 y 15. Dado que
- En tercer lugar, utilice el par de factores correcto que se encuentra arriba para reemplazar el término medio 16x. Por lo tanto, tenemos 1x y 15x.
- Cuarto, agrúpelos en dos paréntesis; sin embargo, manteniendo el cartel del medio afuera.
- Finalmente, factoriza cada paréntesis. El primer paréntesis tiene el máximo factor común de x, mientras que el segundo es 3. Si lo ha hecho bien, las expresiones "sobrantes" en los dos paréntesis deben ser las mismas. Si ese es el caso, ¡realiza una última factorización para llegar a la respuesta final!
Entonces, la respuesta final aquí es
Puede verificar si el producto de los dos binomios es de hecho el trinomio original utilizando el método FOIL.
Ejemplo 2: Factoriza el trinomio 8x ^ 2 + 2x-3 como un producto de dos binomios.
Multiplica la primera y la última constantes del trinomio. Eso debería ser (8) (- 3) = –24.
Encuentre dos números tales que el producto sea –24 y su suma sea 2. Por ensayo y error, el par que debería funcionar es –4 y 6.
Use los dos números (adjuntos con la variable x) para reemplazar el término medio del trinomio original.
Sepárelos en dos grupos utilizando el símbolo entre paréntesis. Asegúrese de dejar el letrero del medio afuera.
Ahora es el momento de factorizar cada expresión entre paréntesis. El MCD del primer paréntesis es 4x mientras que el segundo es 3. Finalmente, deberíamos obtener expresiones equivalentes en los dos paréntesis. ¡Factoriza esa expresión común 2x-1 para obtener la respuesta final!
La respuesta final entonces es
Verifique su respuesta multiplicando los dos binomios usando el método FOIL y vea si produce el problema original.
Ejemplo 3: Factoriza el trinomio 12x ^ 2-4x-1 como un producto de dos binomios.
El producto de las constantes inicial y final es –12.
El par de factores con un producto de –12 (multiplicar la primera y la última constantes, ac) y una suma de –4 (constante media, b) es –6 y 2.
Dado que (–6) (2) = –12 y (–6) + (2) = –4.
Reescribe el trinomio reemplazando el término medio usando el par de factores –6 y 2. No olvides agregarles la variable x.
Agrúpelos en dos paréntesis. Factoriza el primer y segundo paréntesis con sus MCD, 6x y 1, respectivamente.
Y luego, realice la factorización final con el término común (en amarillo) para llegar a la respuesta final.
Por tanto, la respuesta final es
Ejemplo 4: Factoriza el trinomio 4x ^ 2-12x + 5 como un producto de dos binomios.
Multiplicar la primera y la última constantes nos da (4) (5) = 20. Su par de factores cuya suma es igual a la constante media –12 es –2 y –10.
Solo para comprobar si nuestros dos números son correctos.
Usando el par de factores correcto, reemplace el término medio del trinomio original por –2x y –10x.
Agrúpelos en dos paréntesis dejando el signo del medio afuera.
Factoriza cada paréntesis. El MCD del primer paréntesis es 2x mientras que el segundo paréntesis es solo 5. Después de realizar este paso, la expresión dentro de cada paréntesis debe ser igual, ¡lo cual es! Factoriza la expresión común 2x-1, ¡y listo!
Por lo tanto, tenemos
Ejemplo 5: Factoriza el trinomio 4x ^ 2-21x + 5 como un producto de dos binomios.
Si multiplicamos la primera y la última constante, obtenemos (4) (5) = 20. Ahora piense en dos números cuando se multiplican da el producto de 20, pero cuando se suman dan la constante media, –21.
El par correcto de números es –1 y –20. Desde
Reemplaza el término medio del trinomio original por el par de números encontrados. Asegúrese de adjuntarle la variable x.
Agrúpelos usando dos paréntesis. Mantenga el letrero del medio afuera.
Luego factoriza la expresión en cada paréntesis. El MCD del primero es x, mientras que el segundo es 5. Si los términos dentro del paréntesis resultan ser los mismos, eso significa que estamos en el camino correcto. Factoriza esa expresión común para obtener la respuesta final.
Por lo tanto, tenemos
Ejemplo 6: Factoriza el trinomio 15x ^ 2-8x + 1 como un producto de dos binomios.
Solución:
El producto de la primera constante y la última constante es (15) (1) = 15. El par de factores de este producto cuya suma es la constante media, –8, es –3 y –5.
Dado que (–3) (- 5) = 15 y (–3) + (–5) = –8.
Utilice estos dos números para reemplazar el término medio del trinomio original. Asegúrese de adjuntar una variable x a cada uno de ellos.
Sepárelos usando paréntesis pero manteniendo el signo del medio afuera.
Factoriza cada paréntesis. El MCD del primero es 3x, mientras que el segundo es solo 1. Finalmente, factoriza el binomio común (en amarillo) que surge del paso anterior para obtener la respuesta final.
Por lo tanto, tenemos
Ejemplo 7: Factoriza el trinomio 4x ^ 2-8x-21 como un producto de dos binomios.
Solución:
Encuentra el producto de la primera y la última constantes. Es decir (4) (- 21) = –84. El par de factores del producto que, cuando se suma, da como resultado la constante media, –8 es –14 y 6.
Es el par de números correcto porque (–14) (6) = –84 y (–14) + (6) = –8.
Reemplaza el término medio del trinomio por los dos números encontrados. Adjunte la variable x a cada uno.
Agrúpelos usando paréntesis. Mantenga el letrero del centro afuera.
Factoriza cada binomio entre paréntesis. El MCD del primer binomio es 2x mientras que el segundo binomio es 3. Si lo ha hecho bien, las expresiones “sobrantes” en cada paréntesis deben ser iguales. Si ese es el caso, factoriza esa expresión común para obtener la respuesta final
Por lo tanto, tenemos
large{4x^2-8x-21=(2x-7)(2x+3)}
Ejemplo 8: Factoriza el trinomio 9x ^ 2 + 4x-5 como un producto de dos binomios.
Solución:
Multiplicando la primera y la última constantes, obtengo (9) (- 5) = –45. El par de factores de este producto, –45, cuya suma es la constante media, 4, es simplemente –5 y 9.
Use esto para reemplazar el término medio del trinomio original. Los agruparía en dos paréntesis. Luego, factoriza cada binomio y espera que surjan dos expresiones iguales. Finalmente, factoriza esta expresión común para obtener la respuesta final.
Ejemplo 9: Factoriza el trinomio 4x ^ 2-16x + 7 como un producto de dos binomios.
Al multiplicar la primera y la última constantes, obtengo (4) (7) = 28. El par de factores de este producto, 28, cuya suma es la constante media, –16, es simplemente –14 y –2.
Use esto para reemplazar el término medio del trinomio original. Los agruparía en dos paréntesis. Luego, factoriza cada binomio y espera que surjan dos expresiones iguales. Finalmente, factoriza esta expresión común para obtener la respuesta final.
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