La pendiente-intersección es la forma más "popular" de una línea recta. Muchos estudiantes encuentran esto útil debido a su simplicidad. Uno puede describir fácilmente las características de la línea recta incluso sin ver su gráfico porque el pendiente e y-interceptar pueden identificarse o leerse fácilmente en este formulario.
Forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea
La ecuación lineal escrita en la forma
grande {y = mx + b}
está en forma pendiente-intersección donde:
m es el pendiente, y b es la y-interceptar
Notas rápidas:
- La pendiente m mide qué tan inclinada es la línea con respecto a la horizontal. Dados dos puntos a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) que se encuentran en la línea, la pendiente se calcula como
- La intersección con el eje y b es el punto donde la línea cruza el eje y. Observe que en el gráfico siguiente, el punto rojo siempre se encuentra en el eje vertical principal del plano cartesiano. Esa es la característica básica de la intersección con el eje y.
Repasemos algunos ejemplos de cómo escribir la ecuación de una línea recta en forma lineal y = mx + b.
Ejemplos de aplicación del concepto de forma pendiente-intersección de una línea
ejemplo 1: Escribe la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección con un pendiente de -, 5 y ay-intercepción de 3.
La información necesaria para escribir la ecuación de la recta en la forma y = mx + b se da claramente en el problema, ya que
m = -, 5 (pendiente)
b = 3 (intersección con el eje y)
Sustituyendo en y = mx + b, obtenemos
Al tener una pendiente negativa, la línea disminuye / cae de izquierda a derecha y pasa por el eje y en el punto izquierdo ({0,3} derecha).
ejemplo 2: Escribe la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección con un pendiente de 7 y ay-intercepción de -, 4.
La pendiente se da como m = 7 y la intersección en y como b = -, 4. Sustituyendo en la fórmula pendiente-intersección y = mx + b, tenemos
La pendiente es positiva, por lo que la línea aumenta o aumenta de izquierda a derecha, pero pasa por el eje y en el punto izquierdo ({0, -, 4} derecha).
ejemplo 3: Escribe la ecuación de la línea en pendiente-intersección con un pendiente de 9 y pasando por el punto izquierda ({0, -, 2} derecha).
Este problema es ligeramente diferente de los dos ejemplos anteriores porque la intersección con el eje y b no se nos da por adelantado. Entonces, nuestro próximo objetivo es averiguar de alguna manera cuál es el valor de b primero.
Sin embargo, si examinamos la forma pendiente-intersección, debería hacernos creer que tenemos suficiente información para resolver b. ¿Cómo?
Eso significa m = 9, y desde el punto dado a la izquierda ({0, -, 2} derecha) tenemos x = 0 e y = -, 2. Sustituyamos estos valores conocidos en la fórmula pendiente-intersección y despejemos el valor perdido de b.
Ahora es posible escribir la forma pendiente-intersección como
ejemplo 4: Encuentra la forma pendiente-intersección de la línea con un pendiente de -, 3 y pasando por el punto izquierda ({- 1, 15} derecha).
Una vez más, el valor de la intersección con el eje y b no se nos proporciona directamente. Pero podemos utilizar la pendiente dada y un punto para encontrarla.
Sustituye los valores conocidos en la fórmula pendiente-intersección y luego resuelve el valor desconocido de b.
Reemplaza el valor de la pendiente y el valor resuelto de la intersección con el eje y en y = mx + b.
ejemplo 5: Una línea con el pendiente de -, 8 y pasando por el punto izquierda ({-, 4 ,, - 1} derecha).
La pendiente dada es m = -, 8 y desde el punto dado a la izquierda ({-, 4 ,, - 1} derecha), tenemos x = -, 4 e y = -, 1. Ahora, vamos a sustituir los valores conocidos en la forma pendiente-intersección de la línea para resolver b.
Dado que m = -, 8 y b = -, 33, la forma pendiente-intersección de la línea se convierte en
ejemplo 6: Escribe la forma pendiente-intersección de la línea con un pendiente de {3 sobre 5} y a través de punto izquierda ({5 ,, - 2} derecha).
Aquí tenemos una pendiente que no es un número entero, es decir, el denominador es distinto de uno positivo o negativo, pm 1. En otras palabras, tenemos una pendiente fraccionaria "verdadera".
El procedimiento para resolver este problema es muy similar al de los ejemplos 3, 4 y 5. Pero el punto principal de este ejemplo es enfatizar los pasos algebraicos requeridos sobre cómo resolver una ecuación lineal que involucra una fracción.
Los valores conocidos del problema son
- Dado Pendiente:
- Dado punto:
Reemplaza los valores en y = mx + by resuelve para b.
Como puede ver, los factores comunes de 5 en el numerador y el denominador se cancelan muy bien entre sí, lo que simplifica enormemente el proceso de resolver para b.
Poniendo esto junto en la forma y = mx + b
Ejemplo 7: Pendiente de {{, - 3} sobre 2} y a través del punto izquierda ({- 1 ,, - 1} derecha).
La pendiente dada es m = {{, - 3} sobre 2} y desde el punto dado a la izquierda ({- 1 ,, - 1} derecha), los valores de xey pueden identificarse fácilmente.
Ahora ingrese los valores conocidos en la forma pendiente-intersección y = mx + b para resolver para b.
Asegúrate de que cuando sumes o restes fracciones generes un denominador común.
Después de obtener el valor de b, ahora podemos escribir la forma pendiente-intersección de la línea.
ejemplo 8: Pendiente de -, 6 y a través del punto izquierda ({{1 sobre 2}, {1 sobre 3}} derecha).
La pendiente se da como m = -, 6 y desde el punto, tenemos x = {1 sobre 2} e y = {1 sobre 3}.
Sustituye los valores conocidos en y = mx + b. Luego resuelve el valor faltante de b.
Por lo tanto, la forma pendiente-intersección de la línea es
ejemplo 9: Pendiente de {{, 7} sobre 3} y a través del punto izquierda ({{{-, 2} sobre 5}, {5 sobre 2}} derecha).
Identificar los valores conocidos
- Dado Pendiente:
- Dado punto:
La configuración para encontrar b se convierte en
Eso hace que la forma pendiente-intersección de la línea sea
ejemplo 10: Una línea que pasa por los dos puntos dados a la izquierda ({4,, 5} derecha) y (izquierda ({0,, 3} derecha).
En este problema, estamos no siempre con la pendiente my la intersección con el eje y b. Sin embargo, debemos darnos cuenta de que la pendiente se calcula fácilmente cuando se conocen dos puntos utilizando la fórmula de pendiente.
Fórmula de pendiente
La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera ...
Si dejamos que la izquierda ({4,, 5} derecha) sea el primer punto, entonces la izquierda ({0,, 3} derecha) debe ser el segundo.
Etiquetar los componentes de cada punto debería ayudar a identificar los valores correctos que se sustituirían en la fórmula de la pendiente.
Según el etiquetado anterior, ahora sabemos que
A continuación, escriba la fórmula de la pendiente, sustituya los valores conocidos y simplifique.
¡Estupendo! Encontramos que la pendiente es m = {{, 1} sobre 2} ,. La única pieza que falta del rompecabezas es determinar la intersección con el eje y. Utilice la pendiente que encontramos, junto con CUALQUIER de los dos puntos dados. En este ejercicio, le mostraré que debemos llegar al mismo valor de la intersección con el eje y independientemente del punto seleccionado para el cálculo.
Encontrar la intersección con el eje y
- Usando el patrón de velas del primer punto izquierda ({4,, 5} derecha).
- Usando el patrón de velas del segundo punto izquierda ({0,, 3} derecha).
De hecho, las intersecciones y resultan iguales en ambos cálculos. Ahora podemos escribir la ecuación lineal en forma pendiente-intersección.
A continuación se muestra el gráfico de la línea que pasa por los dos puntos dados.
ejemplo 11: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({-, 7,, 4} derecha) e izquierda ({-, 2, 19} derecha).
Resolvamos esto paso a paso.
- Paso 1:: Asigne qué punto es el primero y el segundo, y luego etiquete sus componentes.
- Paso 2:: Sustituye los valores conocidos en la fórmula de la pendiente y simplifica si es necesario.
- Paso 3:: Elija cualquiera de los dos puntos dados. Supongamos que elegimos el punto a la izquierda ({-, 7,, 4} a la derecha). Eso significa x = -, 7 e y = 4. Usando el valor calculado de la pendiente en el paso 2, ahora podemos encontrar la intersección con el eje y b.
- Paso 4:: Poniéndolos juntos en la forma y = mx + b, ya que m = 3 y b = 25, tenemos la forma pendiente-intersección de la recta como
- Paso 5:: Utilizando una herramienta gráfica, demuestre que la ecuación lineal resuelta en forma pendiente-intersección pasa por los dos puntos.
ejemplo 12: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({-, 6 ,, -, 3} derecha) e izquierda ({-, 7 ,, - 1} derecha).
- Encuentra la pendiente
- Elija cualquiera de los dos puntos dados. Supongamos que elegimos el segundo punto que es
Sustituye valores conocidos en la forma pendiente-intersección y = mx + b para resolver para b.
- Poniéndolos juntos. Dado que m = -, 2 y b = -, 15, la forma pendiente-intersección de la línea es
- Esta es la gráfica de la línea que muestra que pasa por ambos puntos.
ejemplo 13: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({5 ,, -, 2} derecha) e izquierda ({-, 2, 5} derecha).
- Determine la pendiente a partir de los dos puntos dados.
- Elija cualquiera de los dos puntos dados. Digamos que elegimos el primero, a la izquierda ({5 ,, -, 2} a la derecha). Eso significa x = 5 e y = -, 2. Usa esta información junto con el valor de la pendiente para resolver la intersección con el eje y b.
- Ahora, júntelos. Dado que m = -, 1 y b = 3, la forma pendiente-intersección de la línea es
- Utilizando una herramienta gráfica, demuestre que la línea pasa por los dos puntos dados.
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