Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

La pendiente-intersección es la forma más "popular" de una línea recta. Muchos estudiantes encuentran esto útil debido a su simplicidad. Uno puede describir fácilmente las características de la línea recta incluso sin ver su gráfico porque el pendiente e y-interceptar pueden identificarse o leerse fácilmente en este formulario.

Forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea

La ecuación lineal escrita en la forma



grande {y = mx + b}

está en forma pendiente-intersección donde:

m es el pendiente, y b es la y-interceptar

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Notas rápidas:


  • La pendiente m mide qué tan inclinada es la línea con respecto a la horizontal. Dados dos puntos a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) que se encuentran en la línea, la pendiente se calcula como
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • La intersección con el eje y b es el punto donde la línea cruza el eje y. Observe que en el gráfico siguiente, el punto rojo siempre se encuentra en el eje vertical principal del plano cartesiano. Esa es la característica básica de la intersección con el eje y.
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Repasemos algunos ejemplos de cómo escribir la ecuación de una línea recta en forma lineal y = mx + b.



Ejemplos de aplicación del concepto de forma pendiente-intersección de una línea

ejemplo 1: Escribe la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección con un pendiente de  -, 5 y ay-intercepción de 3.

La información necesaria para escribir la ecuación de la recta en la forma y = mx + b se da claramente en el problema, ya que

m = -, 5 (pendiente)

b = 3 (intersección con el eje y)

Sustituyendo en y = mx + b, obtenemos

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Al tener una pendiente negativa, la línea disminuye / cae de izquierda a derecha y pasa por el eje y en el punto izquierdo ({0,3} derecha).


Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 2: Escribe la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección con un pendiente de 7 y ay-intercepción de  -, 4.


La pendiente se da como m = 7 y la intersección en y como b = -, 4. Sustituyendo en la fórmula pendiente-intersección y = mx + b, tenemos

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

La pendiente es positiva, por lo que la línea aumenta o aumenta de izquierda a derecha, pero pasa por el eje y en el punto izquierdo ({0, -, 4} derecha).

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 3: Escribe la ecuación de la línea en pendiente-intersección con un pendiente de 9 y pasando por el punto izquierda ({0, -, 2} derecha).

Este problema es ligeramente diferente de los dos ejemplos anteriores porque la intersección con el eje y b no se nos da por adelantado. Entonces, nuestro próximo objetivo es averiguar de alguna manera cuál es el valor de b primero.

Sin embargo, si examinamos la forma pendiente-intersección, debería hacernos creer que tenemos suficiente información para resolver b. ¿Cómo?


Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Eso significa m = 9, y desde el punto dado a la izquierda ({0, -, 2} derecha) tenemos x = 0 e y = -, 2. Sustituyamos estos valores conocidos en la fórmula pendiente-intersección y despejemos el valor perdido de b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Ahora es posible escribir la forma pendiente-intersección como

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 4: Encuentra la forma pendiente-intersección de la línea con un pendiente de  -, 3 y pasando por el punto izquierda ({- 1, 15} derecha).

Una vez más, el valor de la intersección con el eje y b no se nos proporciona directamente. Pero podemos utilizar la pendiente dada y un punto para encontrarla.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Sustituye los valores conocidos en la fórmula pendiente-intersección y luego resuelve el valor desconocido de b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Reemplaza el valor de la pendiente y el valor resuelto de la intersección con el eje y en y = mx + b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 5: Una línea con el pendiente de  -, 8 y pasando por el punto izquierda ({-, 4 ,, - 1} derecha).

La pendiente dada es m = -, 8 y desde el punto dado a la izquierda ({-, 4 ,, - 1} derecha), tenemos x = -, 4 e y = -, 1. Ahora, vamos a sustituir los valores conocidos en la forma pendiente-intersección de la línea para resolver b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Dado que m = -, 8 y b = -, 33, la forma pendiente-intersección de la línea se convierte en

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 6: Escribe la forma pendiente-intersección de la línea con un pendiente de {3 sobre 5} y a través de punto izquierda ({5 ,, - 2} derecha).

Aquí tenemos una pendiente que no es un número entero, es decir, el denominador es distinto de uno positivo o negativo, pm 1. En otras palabras, tenemos una pendiente fraccionaria "verdadera".

El procedimiento para resolver este problema es muy similar al de los ejemplos 3, 4 y 5. Pero el punto principal de este ejemplo es enfatizar los pasos algebraicos requeridos sobre cómo resolver una ecuación lineal que involucra una fracción.

Los valores conocidos del problema son

  • Dado Pendiente: 
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • Dado punto: 
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Reemplaza los valores en y = mx + by resuelve para b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Como puede ver, los factores comunes de 5 en el numerador y el denominador se cancelan muy bien entre sí, lo que simplifica enormemente el proceso de resolver para b.

Poniendo esto junto en la forma y = mx + b

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Ejemplo 7: Pendiente de {{, - 3} sobre 2} y a través del punto izquierda ({- 1 ,, - 1} derecha).

La pendiente dada es m = {{, - 3} sobre 2} y desde el punto dado a la izquierda ({- 1 ,, - 1} derecha), los valores de xey pueden identificarse fácilmente.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Ahora ingrese los valores conocidos en la forma pendiente-intersección y = mx + b para resolver para b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Asegúrate de que cuando sumes o restes fracciones generes un denominador común.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Después de obtener el valor de b, ahora podemos escribir la forma pendiente-intersección de la línea.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 8: Pendiente de  -, 6 y a través del punto izquierda ({{1 sobre 2}, {1 sobre 3}} derecha).

La pendiente se da como m = -, 6 y desde el punto, tenemos x = {1 sobre 2} e y = {1 sobre 3}.

Sustituye los valores conocidos en y = mx + b. Luego resuelve el valor faltante de b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Por lo tanto, la forma pendiente-intersección de la línea es

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 9Pendiente de {{, 7} sobre 3} y a través del punto izquierda ({{{-, 2} sobre 5}, {5 sobre 2}} derecha).

Identificar los valores conocidos

  • Dado Pendiente: 
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  • Dado punto: 
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

La configuración para encontrar b se convierte en

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Eso hace que la forma pendiente-intersección de la línea sea

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 10: Una línea que pasa por los dos puntos dados a la izquierda ({4,, 5} derecha) y (izquierda ({0,, 3} derecha).

En este problema, estamos no siempre con la pendiente my la intersección con el eje y b. Sin embargo, debemos darnos cuenta de que la pendiente se calcula fácilmente cuando se conocen dos puntos utilizando la fórmula de pendiente.

Fórmula de pendiente

La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera ...

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Si dejamos que la izquierda ({4,, 5} derecha) sea el primer punto, entonces la izquierda ({0,, 3} derecha) debe ser el segundo.

Etiquetar los componentes de cada punto debería ayudar a identificar los valores correctos que se sustituirían en la fórmula de la pendiente.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Según el etiquetado anterior, ahora sabemos que

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

A continuación, escriba la fórmula de la pendiente, sustituya los valores conocidos y simplifique.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

¡Estupendo! Encontramos que la pendiente es m = {{, 1} sobre 2} ,. La única pieza que falta del rompecabezas es determinar la intersección con el eje y. Utilice la pendiente que encontramos, junto con CUALQUIER de los dos puntos dados. En este ejercicio, le mostraré que debemos llegar al mismo valor de la intersección con el eje y independientemente del punto seleccionado para el cálculo.

Encontrar la intersección con el eje y

  • Usando el patrón de velas del primer punto izquierda ({4,, 5} derecha).
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  • Usando el patrón de velas del segundo punto izquierda ({0,, 3} derecha).
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De hecho, las intersecciones y resultan iguales en ambos cálculos. Ahora podemos escribir la ecuación lineal en forma pendiente-intersección.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

A continuación se muestra el gráfico de la línea que pasa por los dos puntos dados.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 11: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({-, 7,, 4} derecha) e izquierda ({-, 2, 19} derecha).

Resolvamos esto paso a paso.

  • Paso 1:: Asigne qué punto es el primero y el segundo, y luego etiquete sus componentes.
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • Paso 2:: Sustituye los valores conocidos en la fórmula de la pendiente y simplifica si es necesario.
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • Paso 3:: Elija cualquiera de los dos puntos dados. Supongamos que elegimos el punto a la izquierda ({-, 7,, 4} a la derecha). Eso significa x = -, 7 e y = 4. Usando el valor calculado de la pendiente en el paso 2, ahora podemos encontrar la intersección con el eje y b.
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • Paso 4:: Poniéndolos juntos en la forma y = mx + b, ya que m = 3 y b = 25, tenemos la forma pendiente-intersección de la recta como
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • Paso 5:: Utilizando una herramienta gráfica, demuestre que la ecuación lineal resuelta en forma pendiente-intersección pasa por los dos puntos.
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 12: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({-, 6 ,, -, 3} derecha) e izquierda ({-, 7 ,, - 1} derecha).

  • Encuentra la pendiente
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  • Elija cualquiera de los dos puntos dados. Supongamos que elegimos el segundo punto que es 
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

Sustituye valores conocidos en la forma pendiente-intersección y = mx + b para resolver para b.

Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • Poniéndolos juntos. Dado que m = -, 2 y b = -, 15, la forma pendiente-intersección de la línea es
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  • Esta es la gráfica de la línea que muestra que pasa por ambos puntos.
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

ejemplo 13: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({5 ,, -, 2} derecha) e izquierda ({-, 2, 5} derecha).

  • Determine la pendiente a partir de los dos puntos dados.
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  • Elija cualquiera de los dos puntos dados. Digamos que elegimos el primero, a la izquierda ({5 ,, -, 2} a la derecha). Eso significa x = 5 e y = -, 2. Usa esta información junto con el valor de la pendiente para resolver la intersección con el eje y b.
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  • Ahora, júntelos. Dado que m = -, 1 y b = 3, la forma pendiente-intersección de la línea es
Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)
  • Utilizando una herramienta gráfica, demuestre que la línea pasa por los dos puntos dados.
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