Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

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Forma pendiente-intersección de una línea (y = mx + b)

La pendiente-intersecci√≥n es la forma m√°s "popular" de una l√≠nea recta. Muchos estudiantes encuentran esto √ļtil debido a su simplicidad. Uno puede describir f√°cilmente las caracter√≠sticas de la l√≠nea recta incluso sin ver su gr√°fico porque el pendiente e y-interceptar pueden identificarse o leerse f√°cilmente en este formulario.

Forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea

La ecuación lineal escrita en la forma



grande {y = mx + b}

está en forma pendiente-intersección donde:

m es el pendiente, y b es la y-interceptar

Notas r√°pidas:


  • La pendiente m mide qu√© tan inclinada es la l√≠nea con respecto a la horizontal. Dados dos puntos a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) que se encuentran en la l√≠nea, la pendiente se calcula como
  • La intersecci√≥n con el eje y b es el punto donde la l√≠nea cruza el eje y. Observe que en el gr√°fico siguiente, el punto rojo siempre se encuentra en el eje vertical principal del plano cartesiano. Esa es la caracter√≠stica b√°sica de la intersecci√≥n con el eje y.

Repasemos algunos ejemplos de cómo escribir la ecuación de una línea recta en forma lineal y = mx + b.



Ejemplos de aplicación del concepto de forma pendiente-intersección de una línea

ejemplo 1: Escribe la ecuaci√≥n de la recta en forma pendiente-intersecci√≥n con un pendiente de  -, 5 y ay-intercepci√≥n de 3.

La información necesaria para escribir la ecuación de la recta en la forma y = mx + b se da claramente en el problema, ya que

m = -, 5 (pendiente)

b = 3 (intersección con el eje y)

Sustituyendo en y = mx + b, obtenemos

Al tener una pendiente negativa, la línea disminuye / cae de izquierda a derecha y pasa por el eje y en el punto izquierdo ({0,3} derecha).


ejemplo 2: Escribe la ecuaci√≥n de la recta en forma pendiente-intersecci√≥n con un pendiente de 7 y ay-intercepci√≥n de  -, 4.


La pendiente se da como m = 7 y la intersección en y como b = -, 4. Sustituyendo en la fórmula pendiente-intersección y = mx + b, tenemos

La pendiente es positiva, por lo que la línea aumenta o aumenta de izquierda a derecha, pero pasa por el eje y en el punto izquierdo ({0, -, 4} derecha).

ejemplo 3: Escribe la ecuación de la línea en pendiente-intersección con un pendiente de 9 y pasando por el punto izquierda ({0, -, 2} derecha).

Este problema es ligeramente diferente de los dos ejemplos anteriores porque la intersección con el eje y b no se nos da por adelantado. Entonces, nuestro próximo objetivo es averiguar de alguna manera cuál es el valor de b primero.

Sin embargo, si examinamos la forma pendiente-intersecci√≥n, deber√≠a hacernos creer que tenemos suficiente informaci√≥n para resolver b. ¬ŅC√≥mo?


Eso significa m = 9, y desde el punto dado a la izquierda ({0, -, 2} derecha) tenemos x = 0 e y = -, 2. Sustituyamos estos valores conocidos en la fórmula pendiente-intersección y despejemos el valor perdido de b.

Ahora es posible escribir la forma pendiente-intersección como

ejemplo 4: Encuentra la forma pendiente-intersecci√≥n de la l√≠nea con un pendiente de  -, 3 y pasando por el punto izquierda ({- 1, 15} derecha).

Una vez más, el valor de la intersección con el eje y b no se nos proporciona directamente. Pero podemos utilizar la pendiente dada y un punto para encontrarla.

Sustituye los valores conocidos en la fórmula pendiente-intersección y luego resuelve el valor desconocido de b.

Reemplaza el valor de la pendiente y el valor resuelto de la intersección con el eje y en y = mx + b.

ejemplo 5: Una l√≠nea con el pendiente de  -, 8 y pasando por el punto izquierda ({-, 4 ,, - 1} derecha).

La pendiente dada es m = -, 8 y desde el punto dado a la izquierda ({-, 4 ,, - 1} derecha), tenemos x = -, 4 e y = -, 1. Ahora, vamos a sustituir los valores conocidos en la forma pendiente-intersección de la línea para resolver b.

Dado que m = -, 8 y b = -, 33, la forma pendiente-intersección de la línea se convierte en

ejemplo 6: Escribe la forma pendiente-intersecci√≥n de la l√≠nea con un pendiente de {3 sobre 5} y a trav√©s de punto izquierda ({5 ,, - 2} derecha).

Aqu√≠ tenemos una pendiente que no es un n√ļmero entero, es decir, el denominador es distinto de uno positivo o negativo, pm 1. En otras palabras, tenemos una pendiente fraccionaria "verdadera".

El procedimiento para resolver este problema es muy similar al de los ejemplos 3, 4 y 5. Pero el punto principal de este ejemplo es enfatizar los pasos algebraicos requeridos sobre cómo resolver una ecuación lineal que involucra una fracción.

Los valores conocidos del problema son

  • Dado Pendiente: 
  • Dado punto: 

Reemplaza los valores en y = mx + by resuelve para b.

Como puede ver, los factores comunes de 5 en el numerador y el denominador se cancelan muy bien entre sí, lo que simplifica enormemente el proceso de resolver para b.

Poniendo esto junto en la forma y = mx + b

Ejemplo 7: Pendiente de {{, - 3} sobre 2} y a trav√©s del punto izquierda ({- 1 ,, - 1} derecha).

La pendiente dada es m = {{, - 3} sobre 2} y desde el punto dado a la izquierda ({- 1 ,, - 1} derecha), los valores de xey pueden identificarse f√°cilmente.

Ahora ingrese los valores conocidos en la forma pendiente-intersección y = mx + b para resolver para b.

Aseg√ļrate de que cuando sumes o restes fracciones generes un denominador com√ļn.

Después de obtener el valor de b, ahora podemos escribir la forma pendiente-intersección de la línea.

ejemplo 8: Pendiente de  -, 6 y a trav√©s del punto izquierda ({{1 sobre 2}, {1 sobre 3}} derecha).

La pendiente se da como m = -, 6 y desde el punto, tenemos x = {1 sobre 2} e y = {1 sobre 3}.

Sustituye los valores conocidos en y = mx + b. Luego resuelve el valor faltante de b.

Por lo tanto, la forma pendiente-intersección de la línea es

ejemplo 9Pendiente de {{, 7} sobre 3} y a trav√©s del punto izquierda ({{{-, 2} sobre 5}, {5 sobre 2}} derecha).

Identificar los valores conocidos

  • Dado Pendiente: 
  • Dado punto: 

La configuración para encontrar b se convierte en

Eso hace que la forma pendiente-intersección de la línea sea

ejemplo 10: Una línea que pasa por los dos puntos dados a la izquierda ({4,, 5} derecha) y (izquierda ({0,, 3} derecha).

En este problema, estamos no siempre con la pendiente my la intersección con el eje y b. Sin embargo, debemos darnos cuenta de que la pendiente se calcula fácilmente cuando se conocen dos puntos utilizando la fórmula de pendiente.

F√≥rmula de pendienteÔĽŅ

La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera ...

Si dejamos que la izquierda ({4,, 5} derecha) sea el primer punto, entonces la izquierda ({0,, 3} derecha) debe ser el segundo.

Etiquetar los componentes de cada punto debería ayudar a identificar los valores correctos que se sustituirían en la fórmula de la pendiente.

Seg√ļn el etiquetado anterior, ahora sabemos que

A continuación, escriba la fórmula de la pendiente, sustituya los valores conocidos y simplifique.

¬°Estupendo! Encontramos que la pendiente es m = {{, 1} sobre 2} ,. La √ļnica pieza que falta del rompecabezas es determinar la intersecci√≥n con el eje y. Utilice la pendiente que encontramos, junto con CUALQUIER de los dos puntos dados. En este ejercicio, le mostrar√© que debemos llegar al mismo valor de la intersecci√≥n con el eje y independientemente del punto seleccionado para el c√°lculo.

Encontrar la intersección con el eje y

  • Usando el patr√≥n de velas del primer punto izquierda ({4,, 5} derecha).
  • Usando el patr√≥n de velas del segundo punto izquierda ({0,, 3} derecha).

De hecho, las intersecciones y resultan iguales en ambos cálculos. Ahora podemos escribir la ecuación lineal en forma pendiente-intersección.

A continuación se muestra el gráfico de la línea que pasa por los dos puntos dados.

ejemplo 11: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({-, 7,, 4} derecha) e izquierda ({-, 2, 19} derecha).

Resolvamos esto paso a paso.

  • Paso 1:: Asigne qu√© punto es el primero y el segundo, y luego etiquete sus componentes.
  • Paso 2:: Sustituye los valores conocidos en la f√≥rmula de la pendiente y simplifica si es necesario.
  • Paso 3:: Elija cualquiera de los dos puntos dados. Supongamos que elegimos el punto a la izquierda ({-, 7,, 4} a la derecha). Eso significa x = -, 7 e y = 4. Usando el valor calculado de la pendiente en el paso 2, ahora podemos encontrar la intersecci√≥n con el eje y b.
  • Paso 4:: Poni√©ndolos juntos en la forma y = mx + b, ya que m = 3 y b = 25, tenemos la forma pendiente-intersecci√≥n de la recta como
  • Paso 5:: Utilizando una herramienta gr√°fica, demuestre que la ecuaci√≥n lineal resuelta en forma pendiente-intersecci√≥n pasa por los dos puntos.

ejemplo 12: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({-, 6 ,, -, 3} derecha) e izquierda ({-, 7 ,, - 1} derecha).

  • Encuentra la pendiente
  • Elija cualquiera de los dos puntos dados. Supongamos que elegimos el segundo punto que es 

Sustituye valores conocidos en la forma pendiente-intersección y = mx + b para resolver para b.

  • Poni√©ndolos juntos. Dado que m = -, 2 y b = -, 15, la forma pendiente-intersecci√≥n de la l√≠nea es
  • Esta es la gr√°fica de la l√≠nea que muestra que pasa por ambos puntos.

ejemplo 13: Una línea que pasa por los dos puntos indicados a la izquierda ({5 ,, -, 2} derecha) e izquierda ({-, 2, 5} derecha).

  • Determine la pendiente a partir de los dos puntos dados.
  • Elija cualquiera de los dos puntos dados. Digamos que elegimos el primero, a la izquierda ({5 ,, -, 2} a la derecha). Eso significa x = 5 e y = -, 2. Usa esta informaci√≥n junto con el valor de la pendiente para resolver la intersecci√≥n con el eje y b.
  • Ahora, j√ļntelos. Dado que m = -, 1 y b = 3, la forma pendiente-intersecci√≥n de la l√≠nea es
  • Utilizando una herramienta gr√°fica, demuestre que la l√≠nea pasa por los dos puntos dados.

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