El propósito de la regla de signos de Descartes es proporcionar una idea de cuántas raíces reales puede tener un polinomio Pleft (x derecha). Estamos interesados en dos tipos de raíces reales, a saber positivo y negativas raíces reales. La regla es realmente simple.
Aquí está la regla de los signos de Descartes en pocas palabras.
Desglose o explicación de la regla de los signos de Descartes
Suponga que Pleft (x derecha) es un polinomio donde los exponentes están ordenados de mayor a menor, con coeficientes reales excluyendo cero, y contiene un término constante distinto de cero.
El número de raíces reales positivas es
- igual al número de cambios de signo en Pleft (x derecha)
- or, menor que el número de cambios de signo en Pleft (x derecha) por algún múltiplo de 2.
El número de raíces reales negativas es
- igual al número de cambios de signo en Pleft ({- x} derecha)
- or, menor que el número de cambios de signo en Pleft ({- x} derecha) por algún múltiplo de 2.
En resumen, si n es el número de cambios de signo en Pleft (x derecha) o Pleft ({- x} derecha), entonces el número de raíces positivas o negativas puede ser igual an, n-2, n-4, n -6, etc.
Tenga en cuenta que comenzamos con el número de cambios de signo, "n", luego seguimos restando por algún múltiplo de 2 (enteros pares positivos) como 2, 4, 6, etc.
Dejamos de restar hasta el momento en que la diferencia se convierta en 0 o 1. ¡Eso es todo!
Ejemplos rápidos para ambos casos:
- Deje que Pleft (x right) tiene n = 7 número de cambios de signo, el número posible de raíces reales positivas será
7, 5, 3 o 1
- Deje que Pleft (x right) tiene n = 6 número de cambios de signo, el número posible de raíces reales negativas será
6, 4, 2 o 0
Ejemplos de la regla de los signos de Descartes
¡Echemos un vistazo a algunos ejemplos para ver esta regla en acción!
Ejemplo 1: Encuentre el número de raíces reales del polinomio siguiente usando la Regla de los signos de Descartes.
Comience marcando claramente el signo de cada término en el polinomio. Usaré el color rojo para el símbolo positivo (+), y negro para símbolo negativo-). Esto nos permitiría realizar un seguimiento fácil del cambio de signo.
Se considera un cambio de signo si los dos signos de coeficientes adyacentes cambian (o se alternan). Por ejemplo, puede pasar de positivo a negativo o de negativo a positivo.
Por las raíces reales positivas:
Utilice la función dada en sí misma porque la "x" dentro del paréntesis, Pleft (x derecha), es positiva.
Hay dos cambios de signo como lo muestran las flechas. Dado que n = 2, hay 2 o 0 raíces reales positivas.
Por las raíces reales negativas:
Use la versión modificada de la función, Pleft ({- x} derecha), donde la "x" dentro del paréntesis es negativa.
Antes de contar el cambio de signo, necesitaremos algunos cálculos paralelos. Sustituya "-x" en Pleft (x derecha) para obtener Pleft ({- x} derecha). Aquí vamos…
Ahora, hagamos el conteo ...
Hay tres cambios de signo como lo señalan las flechas. Dado que n = 3, hay 3 o 1 raíces reales negativas.
Para nuestra respuesta final, decimos que hay 2 o 0 raíces reales positivas y 3 o 1 raíces reales negativas.
Aquí está la gráfica del polinomio que muestra que, de hecho, ¡nuestra "suposición" es acertada! De hecho, tiene dos (2) raíces positivas y tres (3) raíces negativas.
Ejemplo 2: Encuentre el número de raíces reales del polinomio siguiente usando la Regla de los signos de Descartes.
Antes de comenzar con este problema, debo advertirle no es para tratar esto como un problema de división sintética donde colocamos ceros en las potencias faltantes de x. Siempre que el polinomio esté organizado con un número decreciente de exponentes, eso es suficiente.
Por las raíces reales positivas:
Usa el polinomio dado y cuenta el número de cambio de signo.
Hay tres cambios de signo para Pleft (x derecha), eso significa que puede haber 3 or 1 raíces reales positivas.
Por las raíces reales negativas:
Evalúe -x en Pleft (x derecha) para obtener Pleft ({- x} derecha) y luego cuente el cambio de signo.
Solo hay un cambio de signo para Pleft ({- x} derecha), eso significa que hay exactamente 1 raíz real negativa.
Para nuestra respuesta final, hay 3 o 1 raíces reales positivas y exactamente 1 raíz real negativa.
Ejemplo 3: Encuentre el número de raíces reales (positivas y / o negativas) del polinomio a continuación.
Para encontrar las raíces positivas:
Observe que todos los términos del polinomio son positivos.
Dado que no hay cambio de signo en Pleft (x derecha), esto implica que el polinomio tiene NO raíces reales positivas.
Para encontrar las raíces negativas:
Resuelva para Pleft ({- x} derecha) y luego cuente la variación en los signos.
Como tenemos siete (7) cambios de signo en Pleft ({- x} derecha), hay 7, 5, 3 o 1 raíces reales negativas.
Para nuestra respuesta final, no hay raíces reales positivas y hay 7, 5, 3 o 1 raíces reales negativas.
Ejemplo 4: Encuentre el número de raíces reales del polinomio (positivo y / o negativo) a continuación.
Para encontrar las raíces positivas:
Cuente el número de signos alternos en Pleft (x derecha).
Aquí tenemos seis cambios de signo que implican que hay 6, 4, 2 o 0 raíces reales positivas.
Para encontrar las raíces negativas:
Resuelva para Pleft ({- x} derecha) primero y luego cuente la variación en los signos.
Sin cambio de signo en Pleft ({- x} derecha), eso significa que no hay soluciones reales negativas.
Hay 6, 4, 2 o 0 raíces reales positivas y no hay raíces reales negativas.
