Regla de los signos de Descartes

Regla de los signos de Descartes

El prop√≥sito de la regla de signos de Descartes es proporcionar una idea de cu√°ntas ra√≠ces reales puede tener un polinomio Pleft (x derecha). Estamos interesados ‚Äč‚Äčen dos tipos de ra√≠ces reales, a saber positivo y negativas ra√≠ces reales. La regla es realmente simple.

Aquí está la regla de los signos de Descartes en pocas palabras.

Desglose o explicación de la regla de los signos de Descartes

Suponga que Pleft (x derecha) es un polinomio donde los exponentes están ordenados de mayor a menor, con coeficientes reales excluyendo cero, y contiene un término constante distinto de cero.



El n√ļmero de ra√≠ces reales positivas es

  • igual al n√ļmero de cambios de signo en Pleft (x derecha)
  • or, menor que el n√ļmero de cambios de signo en Pleft (x derecha) por alg√ļn m√ļltiplo de 2.

El n√ļmero de ra√≠ces reales negativas es

  • igual al n√ļmero de cambios de signo en Pleft ({- x} derecha)
  • or, menor que el n√ļmero de cambios de signo en Pleft ({- x} derecha) por alg√ļn m√ļltiplo de 2.

En resumen, si n es el n√ļmero de cambios de signo en Pleft (x derecha) o Pleft ({- x} derecha), entonces el n√ļmero de ra√≠ces positivas o negativas puede ser igual an, n-2, n-4, n -6, etc.

Tenga en cuenta que comenzamos con el n√ļmero de cambios de signo, "n", luego seguimos restando por alg√ļn m√ļltiplo de 2 (enteros pares positivos) como 2, 4, 6, etc.

Dejamos de restar hasta el momento en que la diferencia se convierta en 0 o 1. ¬°Eso es todo!


Ejemplos r√°pidos para ambos casos:


  • Deje que Pleft (x right) tiene n = 7 n√ļmero de cambios de signo, el n√ļmero posible de ra√≠ces reales positivas ser√°

7, 5, 3 o 1

  • Deje que Pleft (x right) tiene n = 6 n√ļmero de cambios de signo, el n√ļmero posible de ra√≠ces reales negativas ser√°

6, 4, 2 o 0

Ejemplos de la regla de los signos de Descartes

¡Echemos un vistazo a algunos ejemplos para ver esta regla en acción!

Ejemplo 1: Encuentre el n√ļmero de ra√≠ces reales del polinomio siguiente usando la Regla de los signos de Descartes.

Regla de los signos de Descartes

Comience marcando claramente el signo de cada término en el polinomio. Usaré el color rojo para el símbolo positivo (+), y negro para símbolo negativo-). Esto nos permitiría realizar un seguimiento fácil del cambio de signo.


Regla de los signos de Descartes

Se considera un cambio de signo si los dos signos de coeficientes adyacentes cambian (o se alternan). Por ejemplo, puede pasar de positivo a negativo o de negativo a positivo.


Por las raíces reales positivas:

Utilice la función dada en sí misma porque la "x" dentro del paréntesis, Pleft (x derecha), es positiva.

Regla de los signos de Descartes

Hay dos cambios de signo como lo muestran las flechas. Dado que n = 2, hay 2 o 0 raíces reales positivas.


Por las raíces reales negativas:

Use la versión modificada de la función, Pleft ({- x} derecha), donde la "x" dentro del paréntesis es negativa.

Antes de contar el cambio de signo, necesitaremos algunos cálculos paralelos. Sustituya "-x" en Pleft (x derecha) para obtener Pleft ({- x} derecha). Aquí vamos…

Regla de los signos de Descartes

Ahora, hagamos el conteo ...

Regla de los signos de Descartes

Hay tres cambios de signo como lo se√Īalan las flechas. Dado que n = 3, hay 3 o 1 ra√≠ces reales negativas.


Para nuestra respuesta final, decimos que hay 2 o 0 raíces reales positivas y 3 o 1 raíces reales negativas.

Aquí está la gráfica del polinomio que muestra que, de hecho, ¡nuestra "suposición" es acertada! De hecho, tiene dos (2) raíces positivas y tres (3) raíces negativas.

Regla de los signos de Descartes

Ejemplo 2: Encuentre el n√ļmero de ra√≠ces reales del polinomio siguiente usando la Regla de los signos de Descartes.

Regla de los signos de Descartes

Antes de comenzar con este problema, debo advertirle no es para tratar esto como un problema de divisi√≥n sint√©tica donde colocamos ceros en las potencias faltantes de x. Siempre que el polinomio est√© organizado con un n√ļmero decreciente de exponentes, eso es suficiente.

Por las raíces reales positivas:

Usa el polinomio dado y cuenta el n√ļmero de cambio de signo.

Regla de los signos de Descartes

Hay tres cambios de signo para Pleft (x derecha), eso significa que puede haber 3 or 1 raíces reales positivas.

Por las raíces reales negativas:

Eval√ļe -x en Pleft (x derecha) para obtener Pleft ({- x} derecha) y luego cuente el cambio de signo.

Regla de los signos de Descartes

Solo hay un cambio de signo para Pleft ({- x} derecha), eso significa que hay exactamente 1 raíz real negativa.

Para nuestra respuesta final, hay 3 o 1 raíces reales positivas y exactamente 1 raíz real negativa.

Ejemplo 3: Encuentre el n√ļmero de ra√≠ces reales (positivas y / o negativas) del polinomio a continuaci√≥n.

Regla de los signos de Descartes

Para encontrar las raíces positivas:

Observe que todos los términos del polinomio son positivos.

Regla de los signos de Descartes

Dado que no hay cambio de signo en Pleft (x derecha), esto implica que el polinomio tiene NO raíces reales positivas.

Para encontrar las raíces negativas:

Resuelva para Pleft ({- x} derecha) y luego cuente la variación en los signos.

Regla de los signos de Descartes

Como tenemos siete (7) cambios de signo en Pleft ({- x} derecha), hay 7, 5, 3 o 1 raíces reales negativas.

Para nuestra respuesta final, no hay raíces reales positivas y hay 7, 5, 3 o 1 raíces reales negativas.

Ejemplo 4: Encuentre el n√ļmero de ra√≠ces reales del polinomio (positivo y / o negativo) a continuaci√≥n.

Regla de los signos de Descartes

Para encontrar las raíces positivas:

Cuente el n√ļmero de signos alternos en Pleft (x derecha).

Regla de los signos de Descartes

Aquí tenemos seis cambios de signo que implican que hay 6, 4, 2 o 0 raíces reales positivas.

Para encontrar las raíces negativas:

Resuelva para Pleft ({- x} derecha) primero y luego cuente la variación en los signos.

Regla de los signos de Descartes

Sin cambio de signo en Pleft ({- x} derecha), eso significa que no hay soluciones reales negativas.

Hay 6, 4, 2 o 0 raíces reales positivas y no hay raíces reales negativas.



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