El máximo común divisor, también conocido como GCF, de dos números es el más grandes número que puede dividir uniformemente los dos números dados.
Otra forma de definir MCD: el máximo factor común de dos números es el factor más grande que es común a ambos números.
Las dos definiciones anteriores significan lo mismo.
No se confunda si encuentra otros nombres del mayor factor común. Todos tienen el mismo significado. Los nombres alternativos de GCF son:
- Divisor común más grande que se abrevia como GCD
- Factor común más alto que se abrevia como HCF
Antes de continuar, asegúrese de saber cómo encontrar todos los factores de un número. De lo contrario, revise mi breve lección sobre cómo encontrar todos los factores de un número utilizando el método del arco iris.
Pasos sobre cómo encontrar el máximo factor común
Paso 1: Enumere o escriba TODOS los factores de cada número.
Paso 2: Identifica los factores comunes. Puede hacerlo rodeando cada factor común o dibujando un segmento de línea entre ellos. Realmente depende de usted cómo desea marcar los factores comunes para que se destaquen.
Paso 3: Después de identificar los factores comunes, seleccione o elija el número que tiene el valor más grande. Este número será esencialmente el máximo común divisor (MCD).
Ejemplos de cómo encontrar los mayores factores comunes
ejemplo 1: Encuentre el máximo común divisor de 12 y 18.
Este problema es fácil porque los números involucrados son relativamente simples. Debería poder encontrar todos los factores de 12 y 18 utilizando el método del arco iris. Como alternativa, he enumerado todos los factores de los números del 1 al 100 para que los use a su conveniencia.
Así que aquí están todos los factores de 12 y 18.
Factores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Después de enumerar todos los factores de cada número, ahora identificamos los factores comunes. Como puede ver a continuación, los factores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6. Observe que identifiqué los factores comunes encerrándolos en un “rectángulo”.
Entonces, ¿qué es el GCF? Obviamente, el GCF es uno de los factores comunes. El factor común que tiene el valor más grande es en realidad el factor común más grande. Por lo tanto, el MCD de 12 y 18 es 6. ¡Eso es!
ejemplo 2: Encuentre el máximo común divisor de 64 y 96.
En muchos casos en matemáticas, a medida que aumenta el número, también aumenta el nivel de dificultad del problema. Sí, esto también es cierto cuando se calcula el MCD de dos números grandes. Sin embargo, el concepto o procedimiento nunca cambia.
Así que, aquí vamos. Encontremos los factores completos de 64 y 96.
◉ Los factores completos de 64 son 1, 2, 4, 8, 16, 32 y 64.
◉ Mientras que los factores completos de 96 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48 y 96.
A continuación se muestran las listas de factores en formato vertical.
El siguiente paso es comparar las listas de factores. Luego dibuja una forma para que el factor común esté dentro de cada forma. ¡Puedes ser creativo aquí! Observe que en la siguiente ilustración, tenemos seis (6) factores comunes que son 1, 2, 4, 8, 16 y 32.
Al observar los factores comunes, el que tiene el mayor valor es 32. Por lo tanto, el máximo común divisor de 64 y 96 es simplemente 32.
ejemplo 3: Determine el máximo común divisor de 42 y 126.
Es fácil apresurarse a resolver un problema matemático porque ya está familiarizado con los pasos para resolverlo. Sin embargo, es una buena práctica hacer una pausa o dar un paso atrás y mirar el problema desde una perspectiva más amplia antes de profundizar en el proceso de resolución del problema en sí.
La razón es que el procedimiento que ya conoce puede que no sea el más eficiente en el tiempo porque podría haber una mejor manera, es decir, una solución más corta.
Abordemos esto de esta manera. Si 42 puede dividir 126 sin un residuo, entonces implica que 42 es un factor de 126. No solo que 42 es un factor común de 42 y 126, sino que también es el factor común que tiene el valor más alto.
Si lo piensas bien, no es posible tener un factor común mayor que 42 porque no puede ser mayor que el número menor de los dos números dados.
Entonces, ¿42 divide 126 uniformemente? ¡La respuesta es sí! Por lo tanto, el máximo común divisor (MCD) de 42 y 126 es simplemente 42. ¡Listo!
ejemplo 4: ¿Cuál es el MCD de 71 y 223?
Al igual que con ejemplo #3, no se lance al movimiento de aplicar los pasos que ya conoce. No puedo exagerar la importancia de practicar la moderación al resolver problemas matemáticos en general. Dar un paso atrás para ver el panorama general es extremadamente importante porque esto le permitirá elaborar estrategias y, por lo tanto, podrá idear un enfoque viable para el problema.
Entonces, si examina de cerca los dos números que son 71 y 223, debería reconocer fácilmente que ambos son números primos. Recuerde que un número primo tiene exactamente dos factores que son 1 y sí mismo. En otras palabras, podemos decir que un número primo solo es divisible por 1 y por sí mismo.
Enumerar los factores de 71 y 223:
Factores de 71: 1, 71
Factores de 223: 1, 223
Deberíamos poder concluir que dado que 1 es el LA ÚNICA factor común, implica que 1 también debe ser el máximo factor común por defecto. Por lo tanto, {rm {gcf}} left ({71,223} right) = 1.
ejemplo 5: ¿Cuál es el MCD de 72 y 84?
Primero, sabemos que ambos números no son primos, de hecho, ambos son números pares. Significa que tienen factores comunes distintos de 1. En segundo lugar, también es obvio que el número menor 72 no puede dividir uniformemente al número mayor 84. Esto nos lleva a la conclusión de que el menor de los dos números, 72, es NO el mayor factor común tampoco.
Bueno, la única opción que queda es continuar con el procedimiento paso a paso para encontrar el MCD de dos números como se discutió en la primera parte de esta lección.
Enumerando todos los factores de cada número, tenemos:
Factores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
Factores de 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84
Comparando las listas de factores, los factores comunes de 72 y 84 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Tomándolo del diagrama, 12 es el máximo común divisor de 72 y 84. ¡Listo!
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