Encontrar la media, la mediana, la moda y el rango

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Martí Micolau
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Encontrar la media, la mediana, la moda y el rango

Los tres cálculos distintos asociados con la Medida de tendencia central son los Media, Mediana, Modo. Cada medición es un intento de capturar la esencia de cómo puede verse una entrada o un número típico en el conjunto de datos. La idea es calcular un valor único que pueda representar todos los elementos del conjunto.

En esta lección, he preparado ocho (8) ejemplos prácticos para ilustrar cómo realizar los cálculos necesarios.



Medidas de tendencia central

Repasemos primero las ideas principales de cada medida de la tendencia central.

MEDIA

Descripción 

Valor "promedio" del conjunto de números

Como encontrar…

Sume todos los números para obtener un total, luego divida por el número de entradas (recuento del número de valores que agregó).

ventajas:

  • Tiene en cuenta todos los números del conjunto de datos. Eso significa que todos los números están incluidos en el cálculo de la media.
  • Una forma fácil y rápida de representar todos los valores de los datos mediante un número único o único debido a su método de cálculo sencillo.
  • Cada conjunto tiene un valor medio único.

Desventajas:

Su valor se ve afectado fácilmente por valores extremos conocidos como valores atípicos.

MEDIAN

Descripción

Valor medio del conjunto de números

Como encontrar…

  • Organice los números en orden creciente, la mediana es el número medio o central.
  • Si hay dos números del medio, súmelos y divídalos por 2 para obtener la mediana.

ventajas:



  • No se ve afectado por los valores atípicos del conjunto de datos. Un valor atípico es un punto de datos que está radicalmente "distante" o "alejado" de las tendencias comunes de valores en un conjunto dado. No representa un número típico del conjunto.
  • El concepto de mediana es intuitivo, por lo que se puede explicar fácilmente como el valor central.
  • Cada conjunto tiene un valor medio único.

Desventajas:

Su valor se percibe tal como es. No se puede utilizar para un tratamiento algebraico adicional.

MODO

Descripción

Valor o artículo más común o frecuente del conjunto

Como encontrar…

Cuente o cuente cuántas veces aparece un número en la lista de datos. El modo es el que más se muestra.

ventajas:

  • Al igual que la mediana, la moda no se ve afectada por valores atípicos.
  • Útil para encontrar el artículo más "popular" o común. Esto incluye conjuntos de datos que no involucran números.

Desventajas:

Si el conjunto no contiene valores repetidos, el modo es irrelevante. Por el contrario, si hay muchos valores que tienen el mismo recuento, el modo puede no tener sentido. distancia en las pestañas de arriba porque no es realmente una medida de tendencia central. Sin embargo, el concepto de rango generalmente se discute junto con Media, Mediana y Moda. ¿Entonces, que es?

TUS LENTES

Gama o Rango (en estadísticas) es la diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto. Lo que proporciona el rango es una estimación rápida y aproximada de la distribución de los valores de los datos dentro de un conjunto.


Considere los dos escenarios siguientes. Aquí tenemos dos clases que toman Álgebra 1 y las edades de los estudiantes en cada clase.


  • Álgebra Clase A
  • Álgebra Clase B

Observaciones:


  • Dado que el rango de la Clase A es menores que en la Clase B, ¿podemos afirmar que la distribución por edades en la Clase A está más agrupada (estrechamente relacionada) que en la Clase B? En otras palabras, ¿las edades enumeradas en la Clase A son más uniformes que en la Clase B?

¡No tan rapido! Esta es, de hecho, la mayor limitación de usar el rango para describir la dispersión de datos dentro de un conjunto. La razón es que puede verse afectado drásticamente por valores atípicos (valores que no son típicos en comparación con el resto de elementos del conjunto).


  • Tenga en cuenta que cuando ignoramos los valores atípicos en la Clase B (edades 11 y 18), el rango "nuevo" se convierte en ...

... que ahora es igual al rango de la Clase A. Entonces, la “gran toma” de este ejemplo es tener mucho cuidado al interpretar los valores del rango, especialmente cuando se comparan dos conjuntos.

Ejemplos de cómo encontrar la media, la mediana, la moda y el rango

Ejemplo 1: Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango para la siguiente lista de valores

La media se conoce comúnmente como el "promedio", que se calcula obteniendo la suma de todos los valores en la lista y luego dividida por el número de entradas. El símbolo utilizado para representar la media es la barra X, que a menudo se lee como "barra x".

  • Para encontrar la media:

Redondeé la respuesta final al número entero más cercano porque todos los números del conjunto también son números enteros. Para ser más específico, redondeé la media al lugar o dígito de "unos" más cercano.

El redondeo es una aproximación, por lo que utilizo el símbolo igual ondulado a la izquierda (aproximadamente a la derecha) para sugerir que es una estimación y no una respuesta exacta. Sin embargo, sea proactivo preguntándole a su maestro cuántos decimales debe redondear su respuesta final.

  • Para encontrar la mediana:

Debo organizar los números de menor a mayor e identificar el valor "medio".

  Además, dado que el número de entradas es impar, se garantiza que tiene un valor medio. Un atajo rápido para determinar qué entrada es la mediana es sumar el número de entradas (llámelo x) por 1 y luego dividir por 2. Utilice el valor de salida aquí para contar desde la izquierda o la derecha de la lista ordenada para identificar la exacta ubicación de la mediana.

De nuestro problema anterior, el número de recuento de elementos en el conjunto es x = 9, por lo que tenemos

Por lo tanto, la mediana se ubica al encontrar el 5ta entrada cuando se cuenta desde la izquierda o la derecha de la lista ordenada.

  • Para encontrar el modo:

La moda es el número de la lista que más aparece, que en este caso, el número 9. Este número se repite tres veces.

  • Para encontrar el rango:

No es necesario que organicemos la lista en orden numérico para encontrar los valores más bajos y más altos. Debería poder elegir los dos valores requeridos mediante una inspección rápida.

Dado que el rango es la diferencia entre el valor más alto y el más bajo, entonces, distancia = más alto - más bajo = 13 - 1 = 12.

Ejemplo 2: Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango para la siguiente lista de valores

  • Para encontrar la media:

Otra forma de resolver la media es usar la fórmula

donde el numerador se lee como "la suma de todos los valores de x", y el denominador n es solo el número de valores en un conjunto.

  • Para encontrar la mediana:

Si enumeramos los valores en orden numérico, la mediana se encuentra en la ubicación "más central". Pero aquí no tenemos un valor único en el centro de la lista. Para abordar este problema, vamos a resolver la mediana encontrando la promedio o media de los dos valores medios.

Simplemente sucede que los dos valores centrales son iguales, por lo tanto, el promedio de dos números iguales será igual al mismo número.

  • Para encontrar el modo:

Mediante una inspección rápida, debemos observar que dos números (3 y 4) aparecen con mayor frecuencia en la lista. ¿Podemos decir que tenemos un empate porque ambos repiten tres veces en la lista? Ese es precisamente el caso. ¡Tenemos una situación aquí donde existen dos modos! Algún libro de texto llamaría a este conjunto bimodal, eso significa tener dos modos.

  • Para encontrar el rango:

El rango es igual al valor máximo menos el valor mínimo que nos da: 12 - 2 = 10.

Ejemplo 3: Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango para la siguiente lista de valores

Para determinar el valor de la media, obtenga el total de todos los números y luego divida por el número de números en la lista. Dado que todos los valores dados son números enteros, entonces tiene sentido que la respuesta final también se exprese como un todo. Por lo tanto, lo redondearé al lugar más cercano.

Para resolver la mediana, organicemos la lista en orden creciente y luego escojamos el valor central. Obviamente, la mediana aquí es igual a 23.

Para resolver la moda, identifique el valor o la entrada más "popular" en la lista. ¿Hay algún elemento que aparezca con más frecuencia en la lista?

Es evidente que ningún valor se repite con más frecuencia que el otro. De hecho, cada número único solo aparece una vez. Entonces, este conjunto tiene sin modo.

El rango es el más fácil de encontrar, Rango = valor más alto menos valor más bajo. Esto nos da RANGO = 99 - 13 = 86.

Ejemplo 4: Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango para la siguiente lista de valores

Este es un ejemplo interesante porque los elementos del conjunto ahora contienen ceros, números positivos y negativos. Sin embargo, los métodos que se utilizan para resolver la media, la mediana, la moda y el rango no cambian.

  • So para mEan, Lo resolveré como de costumbre encontrando su “promedio”. Dado que estamos tratando con números negativos, es una buena práctica colocarlos entre paréntesis para advertirnos que tengamos cuidado al combinarlos. Redondea tu respuesta al lugar de los más cercanos.
  • Para la mediana, debemos tener cuidado al reorganizar los números en orden creciente debido a los números negativos. Recuerde que cero siempre es mayor que cualquier número negativo. Más aún, para comparar cuál de los dos números negativos es mayor que el otro, necesitamos comparar ambos usando sus valores absolutos. ¡El número negativo con el valor absoluto más pequeño es el número más grande!

Simplemente sucede que los dos números del medio son iguales. Por lo tanto, su promedio será simplemente el número en sí.

  • Para el modo, busque los elementos del conjunto que aparecen con más frecuencia. ¡Parece que también tenemos corbata! Ambos, 5 y 0 se repiten dos veces. La los modos entonces son - 5 y 0.
  • El distancia se calcula de la siguiente manera:

Recuerda que dos signos negativos resultan ser positivos. Asegúrese de recordar siempre esta sencilla regla para evitar errores algebraicos innecesarios.

Ejemplo 5: Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango para la siguiente lista de valores

Este ejemplo contiene un conjunto en el que todos los números tienen dos decimales. La regla general es asegurar que cualquier resultado de nuestros cálculos también se debe redondear a los mismos lugares decimales. Una vez más, no estaría de más si le pides un consejo a tu profesor sobre cuántos decimales redondear, ya que esta parte de la solución puede estar abierta a diferentes interpretaciones.

  • Encontrar la media:

Como puede ver, redondeé el valor final de la media a dos decimales.

  • Encontrar la mediana:

Organice los números en orden creciente, es decir, de menor a mayor. Tener un número par de entradas en el conjunto sugiere que tendremos dos números intermedios. ¡Este es siempre el caso! Debe anticipar obtener el promedio de los dos valores medios para obtener la respuesta para la mediana.

Aquí está el cálculo de la mediana ...

Después de dividir la suma de dos números del medio por 2, se obtiene una respuesta con dos lugares decimales. ¡Esto es perfecto! No es necesario redondear.

  • Encontrar el modo:

Dado que cada elemento del conjunto aparece solo una vez (sin valores repetidos), decimos que este conjunto tiene sin modo.

  • Encontrar el rango:

El valor más alto es 56.13 y el valor más bajo es 9.25. El rango es solo la diferencia entre ellos.

Gama o Rango = 56.13 − 9.25 = 46.88

Ejemplo 6: Encuentre la media, la mediana, la moda y el rango para la siguiente lista de valores

Mediante una inspección rápida, los valores de este conjunto contienen números que tienen diferentes posiciones decimales. Con suerte, comenzará preguntándose cuántos lugares decimales deberíamos redondear la respuesta final. Una vez más, esto está abierto a interpretaciones. Por lo tanto, le sugiero que le pida a su profesor más aclaraciones.

NOTA: Sin embargo, para este problema, decidí redondearlo en función del número con los lugares decimales más grandes. Veo esa entrada 0.254  contiene tres dígitos después del punto decimal, que es el más grande entre otros. Por lo tanto, tendré en cuenta que redondearé la respuesta final para la media con tres dígitos después del punto decimal.

  • Determinando la media:
  • Determinando la mediana:

Al igual que en el ejemplo 5, este conjunto tiene un recuento uniforme de entradas. Espere promediar los dos valores del medio para resolver la mediana. Recuerde redondear su respuesta a los tres lugares decimales más cercanos, como cuando resolvimos la media.

Aquí está el cálculo de la mediana ...

  • Determinando el modo:

Tenemos tres modos (trimodal) en este conjunto que son 0.1, 0.254 y 1.1. ¡Todos repiten dos veces en la lista!

  • Determinación del rango:

El valor máximo en la lista es 6.3, y mientras que el valor mínimo es 0.1. Por lo tanto, el rango se calcula de la siguiente manera ...

Ejemplo 7: Leroy quiere obtener una calificación general de B en sus pruebas. Actualmente, tiene los siguientes puntajes de sus once cuestionarios anteriores: 75, 83, 96, 86, 69, 74, 83, 86, 90, 60 y 80. ¿Cuál debería ser su próximo puntaje para obtener un promedio de 80 en la prueba?

Sea "x" la puntuación desconocida de la prueba que necesita obtener Leroy. Para configurar el promedio correcto, necesitamos hacer un ajuste en el número de entradas que se agregan: es decir, de 11 a 12.

La ecuación de trabajo que puede resolver el valor perdido de "x" es la siguiente ...

Leroy necesita anotar 78% en su próxima prueba para obtener un promedio de prueba del 80%.

Ejemplo 8: Lisa es consciente de que debe realizar cinco exámenes importantes en el semestre. Desafortunadamente, debido a razones médicas, solo puede realizar dos exámenes con las puntuaciones de 85 y 89. Para adaptarse a ella, el profesor le da un examen de recuperación que contaría como tres calificaciones de prueba. ¿Qué puntuación debe obtener en este examen de recuperación para obtener un promedio del 90% en todos los exámenes?

Solución:

Asigne una variable a la puntuación desconocida. Llamémoslo "y". El número total de exámenes es 5 debido a sus dos puntajes de exámenes existentes que se suman al examen de recuperación que se cuenta como tres. La ecuación deseada para resolver la puntuación requerida es ...

Lisa necesita anotar 92% en este único examen que se cuenta como tres calificaciones de prueba para lograr un examen general del 90%.



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