Hay algunas formas de encontrar la distancia entre un punto y una línea. Pero el más fácil de todos es mediante el uso de una fórmula. La derivación de la fórmula está reservada para otra lección.
La palabra "distancia" aquí se refiere a la distancia más corta entre el punto fijo y la línea. Esto es precisamente lo que calcula la fórmula: la menor distancia que un punto puede viajar a cualquier punto de la línea. Además, esta distancia que se puede dibujar como un segmento de línea es perpendicular a la línea.
Este concepto de distancia perpendicular como la distancia más corta entre un punto y una línea se explica mejor con una ilustración.
Fórmula de la distancia entre punto y línea
La distancia grande {d} entre el punto con coordenadas grandes {izquierda ({{x_0}, {y_0}} derecha)}, y el línea escrito en la forma general grande {ax + by + c = 0} se calcula de la siguiente manera.
Observe que los valores de las coordenadas del punto van al numerador.
Además, los valores de los coeficientes de la línea escritos en forma general van al numerador y al denominador.
Además, el numerador tiene un símbolo de valor absoluto, lo que significa que el numerador tendrá un valor de cero o un número positivo. Por tanto, el numerador nunca será un número negativo. El denominador también será positivo ya que tanto {a} como grande {b} se elevan al cuadrado antes de sumarlos.
Ejemplos de la distancia entre un punto y una línea
Ejemplo 1: Calcula la distancia entre el punto (0,0) y la recta 3x + 4y + 10 = 0.
Tenemos el punto (0,0) que significa {x_0} = 0 y {y_0} = 0. Nuestra línea ya está en la forma general, por lo que podemos identificar fácilmente los valores para {a} grande, {b} grande y grande {c}.
De 3x + 4y + 10 = 0, tenemos
grande {a = 3}
grande {b = 4}
grande {c = 10}
Dado que todos tenemos los valores necesarios para ser sustituidos en la fórmula, ahora podemos calcular la distancia entre el punto (0,0) y la línea 3x + 4y + 10 = 0.
Aquí está el diagrama del punto y la línea con un segmento de línea roja que muestra la distancia entre ellos.
Ejemplo 2: Calcula la distancia entre el punto (3, -4) y la recta 6x-8y = 5.
El punto dado es (3, -4) entonces {x_0} = 3 y {y_0} = -4. Pero la línea 6x-8y = 5 está escrita en forma estándar. Necesitamos convertirlo a la forma general restando ambos lados de la ecuación por 5.
Desde 6x - 8y - 5 = 0
grande {a = 6}
grande {b = -8}
grande {c = -5}
Tenemos todos los valores necesarios para calcular la distancia entre el punto y la línea.
Aquí está la ilustración que muestra la distancia entre el punto (3, -4) y la línea 6x-8y = 5. El segmento de la línea roja es la longitud de la distancia.
Ejemplo 3: Encuentre la distancia entre el punto (10,5) y la línea {y = {Large {5 over 3}} x + 7}.
Desde el punto dado, sabemos que {x_0} = 10 y {y_0} = 5. Sin embargo, para la línea, no está escrita en la forma que queremos.
La línea dada {y = {Large {5 over 3}} x + 7} se expresa en la forma pendiente-intersección. Necesitamos reescribirlo en la forma general ax + by + c = 0.
Podemos hacer eso multiplicando ambos lados de la ecuación por 3. Luego, restamos ambos lados por 5x. Finalmente, resta ambos lados por 21.
Tenemos toda la información necesaria para calcular la distancia entre el punto y la línea dados.
► Desde el punto (10,5), tenemos
{x_0} = 10 y {y_0} = 5
► De la línea - 5x + 3y - 21 = 0, tenemos
grande {a = -5}
grande {b = 3}
grande {c = -21}
Por lo tanto,
A continuación se muestra el diagrama que muestra el punto (10,5), la línea {y = {Large {5 sobre 3}} x + 7} y su distancia perpendicular.
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