El pendiente de una línea recta describe el ángulo de inclinación de la línea desde la horizontal, ya sea que suba o baje.
Cuando la línea no sube ni baja, entonces afirmamos que tiene un pendiente de cero. Este es, de hecho, el caso de una línea horizontal donde se extiende infinitamente a su izquierda o derecha pero sin ningún signo de “subir” o “bajar”.
En esta lección, el enfoque es repasar muchos ejemplos resueltos para ilustrar cómo usar la fórmula en sí. Recuerda que dos puntos determinan una línea. Así, es posible calcular la pendiente de una línea recta, denotada por el símbolo, m, cuando conocemos al menos dos puntos por donde pasa la línea.
La fórmula de la pendiente
La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera.
Pocas observaciones:
- Las coordenadas del primer punto se asignan con el subíndice 1.
Mientras, las coordenadas del segundo punto se asignan con el subíndice 2.
- El valor numérico de la pendiente se expresa como una razón o fracción. El numerador contiene la diferencia de valores de y, mientras que el denominador contiene la diferencia de valores de x.
- La fórmula de la pendiente se define conceptualmente como la levantarse sobre correr. La "subida" se refiere al movimiento del punto a lo largo del eje y, y la "carrera" se refiere al movimiento a lo largo del eje x.
Ejemplos de cómo encontrar la pendiente de una línea usando la fórmula de pendiente
ejemplo 1: Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({3,5} derecho) e izquierdo ({7,13} derecho).
Comience asignando cuáles serán nuestro primer y segundo punto. Si decidimos hacer la izquierda ({3,5} derecha) como primer punto, entonces la izquierda ({7,13} derecha) debería ser automáticamente el segundo. El primer punto usa el subíndice 1 y el segundo punto usa el subíndice 2. El siguiente diagrama debería ayudarnos a visualizar el primer paso.
A continuación, ahora es fácil extraer los valores que sustituiremos en la fórmula de la pendiente.
Ahora estamos listos para sustituir los valores conocidos en la fórmula.
En m = 2, tenemos una pendiente positiva y, por lo tanto, la línea recta es creciente or creciente de izquierda a derecha. En otras palabras, tener una pendiente positiva es como subir una colina. Vea el gráfico a continuación.
ejemplo 2: Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({2,10} derecho) e izquierdo ({5,1} derecho).
Identifica el primer y segundo punto.
Reemplaza estos valores en la fórmula de la pendiente. Asegúrate de restar los números correctamente. Esto es generalmente donde los estudiantes cometen errores porque tienden a ser descuidados al realizar operaciones aritméticas básicas.
Aquí está la gráfica de la línea que pasa por los puntos izquierda ({2,10} derecha) e izquierda ({5,1} derecha) con su correspondiente pendiente negativa de m = - 3. Esto significa que la línea recta es cayendo / decreciendo de izquierda a derecha. Puede pensar en ello como alguien que baja por la colina.
ejemplo 3: Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({-, 7,3} derecho) e izquierdo ({15, -, 5} derecho).
En este ejemplo, me gustaría mostrarles que el valor numérico de la pendiente es SIEMPRE lo mismo, independientemente del punto que elija para ser el "primero" o el "segundo". Siempre que mantenga el orden correcto restando las coordenadas y y x correspondientes, la pendiente no debe cambiar.
Permítanme ilustrar la idea resolviendo la pendiente en dos sentidos. Vea la comparación a continuación.
CASO 1 (orden habitual de puntos)
- Disquera cada punto con las coordenadas xey apropiadas.
- Evaluación los valores en la fórmula de la pendiente
CASO 2 (orden inverso de puntos)
- Disquera cada punto con las coordenadas xey apropiadas.
- Evaluación los valores en la fórmula de la pendiente
¡Así es! Hemos demostrado que las respuestas finales para la pendiente resultaron ser las mismas, aunque cambiamos el orden de los puntos.
Solo un recordatorio rápido, tenga mucho cuidado al restar números negativos. Recuerda que restar entre un número negativo es lo mismo que la adición de esta valor negativo de ese número. Podemos pensar en ello como x - a = x + left ({- a} right).
Es posible que haya escuchado antes que "dos signos negativos" se vuelven positivos. Esa es la razón por la que cuando estaba restando por un número negativo, coloqué intencionalmente ese número negativo entre paréntesis para incitarme a tener un poco de cuidado al tratar con los signos.
ejemplo 4: Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierda ({-, 11, -, 5} derecha) e izquierda ({1, -, 12} derecha).
Resuelva esto de nuevo uno al lado del otro de dos maneras, para concretar el concepto de que invertir el orden de los puntos no afecta el resultado final de la pendiente.
CASO 1 (orden habitual de puntos)
- Disquera cada punto con las coordenadas xey apropiadas.
- Evaluación los valores en la fórmula de la pendiente
CASO 2 (orden inverso de puntos)
- Disquera cada punto con las coordenadas xey apropiadas.
- Evaluación los valores en la fórmula de la pendiente
¡Esto es maravilloso! Llegamos a la misma respuesta final utilizando dos rutas de cálculo diferentes.
ejemplo 5: Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({5,17} derecho) e izquierdo ({0, -, 3} derecho).
Si quieres resolver esto paso a paso, puedes hacerlo de esta forma.
- Paso 1:: Etiqueta los puntos
- Paso 2:: Extraer valores
- Paso 3:: Escribe la fórmula de la pendiente
- Paso 4:: Sustituya los valores del Paso 2, luego simplifique.
Notas
- Para el numerador: la suma de dos números negativos produce una respuesta negativa. Desde,
- También, trabaja para dividir dos números negativos da como resultado una respuesta positiva. Es por eso que nuestra respuesta final para la pendiente es m = +, 4.
ejemplo 6: Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierda ({-, 1, -, 2} derecha) e izquierda ({-, 3, -, 4} derecha).
Esto parece un problema divertido porque todas las entradas de los dos puntos son números negativos. Te apuesto a que tu maestro puede lanzar algo como esto para probar si tienes cuidado con la resta de números negativos.
Deje que el primer punto sea el izquierdo ({-, 3, -, 4} derecho) y el izquierdo ({-, 1, -, 2} derecho) sea el segundo. Etiquetando sus valores de coordenadas correspondientes y sustituyéndolos deberíamos obtener
- Primer punto
- Segundo punto
- Evaluar valores en la fórmula de la pendiente
ejemplo 7: Resuelve la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({6, -, 8} derecho) e izquierdo ({14, -, 8} derecho).
Este problema es un ejemplo de linea horizontal. Sucede cuando el valor calculado de la pendiente es igual a cero!
Suponer
y
El cálculo de la pendiente de la línea se muestra a continuación.
De hecho, la línea es horizontal como se muestra en el gráfico. La línea se comporta de esta manera porque no importa cómo varíen las coordenadas x, los valores y son constantes o no cambian. El efecto es que mientras la y no cambie, los puntos graficados permanecerán en la misma línea horizontal donde y = - 8.
ejemplo 8: Resuelve la pendiente de la línea que pasa por los puntos izquierdo ({10,0} derecho) e izquierdo ({10,9} derecho).
Este último ejemplo ilustra cuando la línea que pasa por dos puntos dados es una linea vertical.
Todas las líneas verticales tienen sin pendiente porque el valor numérico de sus pendientes da como resultado la división por cero, comúnmente conocida como indefinida.
Deje izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) = izquierda ({10,0} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) = izquierda ({10,9} derecha).
La pendiente de la línea recta se calcula de la siguiente manera.
Cualquier número distinto de cero dividido por cero no tiene respuesta. Por eso lo llamamos indefinido. Aquí está el gráfico para mostrar la línea vertical.
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