A secuencia geométrica (también conocida como progresión geométrica) es un tipo de secuencia en la que cada término, excepto el primer término, se genera multiplicando el término anterior por un número fijo distinto de cero llamado razón comúnr.
Más aún, si tomamos cualquier término de la secuencia geométrica excepto el primer término y lo dividimos por el término anterior, el cociente es siempre el mismo. Este cociente constante o fijo se llama razón común y generalmente se representa con la letra r.
Cómo "derivar" la fórmula de secuencia geométrica
Para generar una secuencia geométrica, comenzamos escribiendo el primer término. Luego multiplicamos el primer término por un número fijo distinto de cero para obtener el segundo término de la secuencia geométrica.
Para obtener la tercera secuencia, tomamos el segundo término y lo multiplicamos por la razón común. Tal vez ahora esté viendo el patrón. Para llegar al siguiente término de la secuencia, multiplica el término anterior por el número constante distinto de cero que usamos como multiplicador común.
Para darle sentido a todo esto, veamos un ejemplo concreto. Supongamos que tenemos una secuencia geométrica en la que
esta Primer periodo, grande {a_1}, es 3
y
esta constante fija or razón común, grande {r}, es 2.
Entonces, si el primer término es 3, entonces tenemos
grande {{a_1} = 3}
El segundo término se genera multiplicando el primer término por la constante fija 2.
grande {{a_2} = 3left (2 right) ^ 1}
El tercer término se genera multiplicando el segundo término por la constante fija 2.
grande {{a_3} = 3izquierda (2 derecha) izquierda (2 derecha) = 3 {izquierda (2 derecha) ^ 2}}
El cuarto término se obtiene multiplicando el tercer término por la constante fija 2.
grande {{a_4} = 3izquierda (2 derecha) izquierda (2 derecha) izquierda (2 derecha) = 3 {izquierda (2 derecha) ^ 3}}
El quinto término se obtiene multiplicando el cuarto término por la constante fija 2.
grande {{a_5} = 3izquierda (2 derecha) izquierda (2 derecha) izquierda (2 derecha) izquierda (2 derecha) = 3 {izquierda (2 derecha) ^ 4}}
Entonces, ¿cómo podemos interpretar y usar el ejemplo anterior para convertirlo en una fórmula? Observe que el primer término color {red} large {{a_1}} siempre está presente en cada término de la secuencia. De la misma manera, el color constante fijo {red} large {r} también se adjunta en cada término a alguna potencia. Darse cuenta de
- si grande {n} es 1, la potencia de grande {r} es 0
- si grande {n} es 2, la potencia de grande {r} es 1
- si grande {n} es 3, la potencia de grande {r} es 2
- si grande {n} es 4, la potencia de grande {r} es 3
- si grande {n} es 5, la potencia de grande {r} es 4
Nota: large {n} es el subíndice de large {a} como en large {a_n}
Significa que la potencia de la constante fija (también conocida como proporción común) color {red} large {r} es 1 menos que cualquier gran {n}.
Por lo tanto, ahora podemos deducir que el enésimo término color {red} large {{a_n}} de una secuencia geométrica es igual al primer término color {red} large {{a_1}} multiplicado por la constante fija (también conocida como proporción común) color {rojo} grande {{r}} elevado a 1 menos que grande {{n}}.
GRANDE {{a_n} = {a_1} {izquierda (r derecha) ^ {n - 1}}}
A continuación se muestra una ilustración rápida sobre cómo derivamos la fórmula de secuencia geométrica.
Desglose de la fórmula de secuencia geométrica
Notas sobre la fórmula de la secuencia geométrica:
- la razón común r no puede ser cero
- n es la posición del término en la secuencia. Por ejemplo, el tercer término es n = 3, el cuarto término es n = 4, el quinto término es n = 5, y así sucesivamente.
Ejemplos de uso de la fórmula de secuencia geométrica
Para aprender y familiarizarnos con la fórmula rápidamente, comenzaremos con problemas fáciles o fundamentales y luego progresaremos gradualmente hacia los más desafiantes. Siéntase libre de omitir los problemas que ya conoce y pasar a los que desea repasar.
Ejemplo 1: Indica si cada secuencia es geométrica o no. Explicar.
a) Secuencia A: 3,12,48,192,…
b) Secuencia B: - 1,2, - 4,8,…
c) Secuencia C: 4,8,12,16,…
d) Secuencia D: Grande {{1 sobre 3}, {1 sobre 2}, {3 sobre 4}, {9 sobre 8},…}
Solución:
a) Si. La secuencia A es una secuencia geométrica porque hay una razón común entre términos consecutivos. La razón común es 4.
b) Si. La secuencia B también es una secuencia geométrica ya que los términos adyacentes tienen una razón común que es -2.
Observe que cuando una secuencia geométrica tiene una razón común negativa, la secuencia tendrá signos alternos. Eso significa que los signos de los términos cambian entre positivo y negativo.
c) No. La secuencia C no es una secuencia geométrica. Los términos consecutivos no tienen una proporción común.
Espero que reconozcan que este es otro tipo de secuencia. Fíjate, hay un Diferencia común entre términos consecutivos que es 4. Es decir,
8 4 4 =-
12 8 4 =-
16 12 4 =-
Dado que la diferencia común es 4, esta es de hecho una secuencia aritmética.
d) Si. La secuencia D es una secuencia geométrica porque tiene una razón común de Grande {{3 sobre 2}}.
Recuerda que cuando dividimos fracciones, convertimos el problema de división en multiplicación. Tome el dividendo (fracción que se divide) y multiplíquelo al recíproco del divisor. Luego, simplificamos según sea necesario.
Grande {{1 sobre 2} div {1 sobre 3} = {1 sobre 2} veces {3 sobre 1} = {3 sobre 2}}
Grande {{3 sobre 4} div {1 sobre 2} = {3 sobre 4} veces {2 sobre 1} = {3 sobre 2}}
Grande {{9 sobre 8} div {3 sobre 4} = {9 sobre 8} veces {4 sobre 3} = {3 sobre 2}}
Ejemplo 2: Escribe una secuencia geométrica con cinco (5) términos donde el primer término es 0.5 y la razón común es 6.
Se nos da el primer término que es grande {{a_1} = 0.5}. Por tanto, tendremos que encontrar los otros cuatro términos. Podemos usar la razón común para producir los siguientes cuatro términos. La razón común, que en este caso es 6, servirá como multiplicador fijo para calcular el resto de términos de la secuencia.
El primer término es {0.5}. El segundo término es el primer término multiplicado por la razón común 6 que es igual a 3. El tercer término es el segundo término multiplicado por 6, y así sucesivamente.
grande {{a_1} = 0.5}
grande {{a_2} = 0.5left (6 right) = 3}
grande {{a_3} = 3left (6 right) = 18}
grande {{a_4} = 18left (6 right) = 108}
grande {{a_5} = 108left (6 right) = 648}
Por lo tanto, la secuencia geométrica que satisface las condiciones dadas es
large{0.5,,,,,3,,,,,18,,,,,,108,,,,,648,,,,,…}
Ejemplo 3: Genere una secuencia geométrica con cinco (5) términos tal que cada término sea la mitad del término anterior. Las respuestas pueden variar.
Hay un número infinito de secuencias geométricas que pueden satisfacer esta condición porque no estamos restringidos a un primer término en particular. Podemos usar cualquier número como nuestro primer término. Es por eso que las respuestas a este problema variarán, ya que somos libres de elegir nuestro período inicial.
El problema se puede expresar algebraicamente como
O
Solo significa que para pasar del término anterior al siguiente, multiplicamos el término anterior por Grande {{1 sobre 2}} para llegar al siguiente.
Si elegimos 48 como nuestro primer término, lo multiplicamos por Grande {{1 sobre 2}} para producir el segundo término. Para generar el tercer término, multiplique el segundo término por Grande {{1 sobre 2}}, y así sucesivamente.
grande {{a_1} = 48}
grande {{a_2} = 48left ({{1 over 2}} right) = 24}
grande {{a_3} = 24left ({{1 over 2}} right) = 12}
grande {{a_4} = 12left ({{1 over 2}} right) = 6}
grande {{a_5} = 6left ({{1 over 2}} right) = 3}
Así que aquí está nuestra secuencia geométrica con cinco (5) términos de modo que cada término (excepto el primer término) es la mitad del término anterior.
large{48,,,,24,,,,,12,,,,,6,,,,,3,,,,,…}
Ejemplo 4: El primer término de la secuencia geométrica es 7 mientras que su razón común es -2. Escribe el enésimo término fórmula de la secuencia en la forma estándar.
La fórmula estándar de la secuencia geométrica es
Este es un problema fácil porque se nos dan los valores del primer término y la razón común. Simplemente los sustituimos en la fórmula y listo.
Dado que {a_1} = 7 y r = - 2, tenemos
grande {{a_n} = 7 {izquierda ({- 2} derecha) ^ {n - 1}}}
Ejemplo 5: Determina el enésimo término fórmula de la secuencia geométrica a continuación.
grande {16 ,,,, 12 ,,,,, 9 ,,,,,…}
Para escribir la fórmula del enésimo término, necesitaremos los valores del primer término y la razón común. Dado que tenemos la secuencia geométrica en sí, el primer término grande {{a_1}} se puede encontrar fácilmente.
El primer término de la secuencia geométrica es obviamente 16.
Divida cada término por el término anterior. Dado que los cocientes son los mismos, entonces se convierte en nuestra razón común. En este caso, tenemos Large {r = {3 over 4}}.
Sustituyendo los valores del primer término y la razón común en la fórmula, obtenemos
Grande {{a_n} = {a_1} {izquierda (r derecha) ^ {n - 1}}}
Grande {{a_n} = 16 {izquierda ({{3 sobre 4}} derecha) ^ {n - 1}}}
Ejemplo 6: Determina los términos indicados a continuación usando la fórmula de secuencia geométrica.
a) El primer término es 3. Encuentra el sexto término si la razón común es 2.
b) El primer término es -2. Encuentra el séptimo término si la razón común es -3.
Solución: Estos dos (2) problemas son muy similares. El primer término y la razón común se dan en el problema. Lo único que tenemos que hacer es insertar estos valores en la fórmula de la secuencia geométrica y luego usarla para encontrar el enésimo término de la secuencia.
a) El primer término es grande {{a_1} = 3} mientras que su razón común es r = 2.
Esto nos da
Para encontrar el sexto término, dejamos n = 6 y luego simplificamos.
grande {a_n} = 3 {izquierda (2 derecha) ^ {n - 1}}
grande {a_6} = 3 {izquierda (2 derecha) ^ {6 - 1}}
grande = 3 {izquierda (2 derecha) ^ 5}
grande = 3izquierda ({32} derecha)
grande {a_6} = 96
b) El primer término es grande {{a_1} = -2} y la razón común es r = -3.
La fórmula del enésimo término se convierte en
Para encontrar el séptimo término, estableceremos n = 7 y luego simplificaremos.
grande {a_n} = - 2 {izquierda ({- 3} derecha) ^ {n - 1}}
grande {a_7} = - 2 {izquierda ({- 3} derecha) ^ {7 - 1}}
grande = - 2 {izquierda ({- 3} derecha) ^ 6}
grande = - 2izquierda ({729} derecha)
grande {a_7} = - 1,458
Ejemplo 7: Encuentra el décimo término de la siguiente secuencia geométrica.
Large{1 over 3},,,,,,1,,,,,,3,,,,,,9,,,,,…
Solución:
Este problema es similar al ejemplo 6. La única diferencia es que los valores del primer término y la razón común no se dan por adelantado. Sin embargo, se pueden encontrar y calcular fácilmente a partir de la secuencia geométrica.
El primer término de la secuencia es muy obvio de identificar.
Calcula la razón común dividiendo cada término por el término anterior. Si los cocientes son iguales, entonces es nuestra razón común.
Dado que el primer término es grande {a_1} = {1 sobre 3} y la razón común es r = 3, escribimos la fórmula general como
Grande {a_n} = {1 sobre 3} {izquierda (3 derecha) ^ {n - 1}}
El décimo término se calcula dejando n = 10.
Grande {a_ {10}} = {1 sobre 3} {izquierda (3 derecha) ^ {10 - 1}}
Grande = {1 sobre 3} {izquierda (3 derecha) ^ 9}
grande = {1 sobre 3} izquierda ({19,683} derecha)
grande {a_ {10}} = 6,561
Ejemplo 8: El segundo término de una secuencia geométrica es 2 y el quinto término es Grande {1 sobre {32}}. Encuentra el noveno término.
Usaremos los dos términos dados para crear un sistema de ecuaciones que podamos resolver para encontrar la razón común r y el primer término {a_1}. Después de hacerlo, es posible escribir la fórmula general que puede encontrar cualquier término en la secuencia geométrica. En particular, queremos encontrar el noveno término.
Dado que grande {a_2} = 2 y grande {a_5} = {1 sobre {32}}, los sustituimos en la fórmula del enésimo término grande {a_n} = {a_1} {izquierda (r derecha) ^ {n - 1}} Llegar
Ecuación 1:
grande2 = {a_1} r
Ecuación 2:
Grande {{1 sobre {32}} = {a_1} {r ^ 4}}
Dividamos la ecuación 2 por la ecuación 1 para cancelar la variable grande {a_1}. Lo que queda es una ecuación que podemos resolver para obtener una {r} grande.
Ahora podemos resolver el valor del primer término sustituyendo el valor de r en la ecuación 1 o 2 y luego resolver para {a_1} grande. Usaremos la ecuación 1 porque es mucho más simple.
Esto nos da la fórmula del enésimo término de la secuencia geométrica.
Finalmente, podemos resolver el noveno término de la secuencia geométrica haciendo n = 9 y simplificándolo.
Ejemplo 9: El tercer término de una secuencia geométrica es 5 y el séptimo término es Grande {5 sobre {16}}. Encuentra el decimotercer término.
Seguro que ya conoces el ejercicio. Usaremos la información de los dos términos dados del problema para crear un sistema de ecuaciones con color {rojo} grande {a_1} y color {rojo} r como variables desconocidas.
Para {a_3 = 5} grandes, nuestro ecuación 1 is
Para grandes {a_7} = {5 sobre {16}}, nuestro ecuación 2 is
Dividimos la ecuación 2 por la ecuación 1 para cancelar el término {a_1} grande y luego resolvemos para {r} grande.
Ahora, resolvemos para {a_1} grande sustituyendo el valor de r = 1/2 a cualquiera de las ecuaciones. Usaremos la ecuación 1 porque es la más simple de las dos.
Ahora podemos juntar la fórmula del enésimo término de la secuencia geométrica.
Finalmente, resolvemos el valor del término faltante. Como estamos buscando el decimotercer término de la secuencia geométrica, dejamos n = 13 y luego simplificamos.
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