La fórmula de la distancia

La fórmula de la distancia

El F√≥rmula de distancia es una herramienta √ļtil para encontrar la distancia entre dos puntos que se pueden representar arbitrariamente como puntos a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} a la derecha).

La fórmula de la distancia en sí se deriva del teorema de Pitágoras, que es {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} donde c es el lado más largo de un triángulo rectángulo (también conocido como hipotenusa) y ay b son los otros lados más cortos (conocidos como los catetos de un triángulo rectángulo).



La esencia misma de la fórmula de la distancia es calcular la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo que está representado por la letra c.

La fórmula de la distancia La fórmula de la distancia

Por eso podemos afirmar que la idea de la fórmula de distancia es prestado y derivado from the Teorema de pitágoras. Si desea ver cómo se deriva la fórmula de distancia del teorema de Pitágoras, consulte mi lección sobre cómo derivar la fórmula de distancia.



Fórmula de distancia como derivada del teorema de Pitágoras

La distancia d entre dos puntos

La fórmula de la distancia

y

La fórmula de la distancia

se calcula o calcula utilizando la siguiente fórmula:


La fórmula de la distancia

A continuación se muestra una ilustración que muestra que la Fórmula de la distancia se basa en el Teorema de Pitágoras donde la distancia d es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.


La fórmula de la distancia

Observaciones:


a) La expresión {x_2} - {x_1} se lee como el "cambio en x".

b) La expresión {y_2} - {y_1} se lee como el "cambio en y".

Ejemplos de uso de la fórmula de distancia

A continuación se muestra una lista de todos los problemas de esta lección.

  1. ¬ŅQu√© tan lejos est√° el punto (6,8) del origen?
  2. Calcula la distancia entre los dos puntos (‚Äď3, 2) y (3, 5).
  3. ¬ŅCu√°l es la distancia entre los puntos (‚Äď1, ‚Äď1) y (4, ‚Äď5)?
  4. ¬ŅA cu√°ntas unidades de distancia est√°n los puntos (‚Äď4, ‚Äď3) y (4, 3)? Resuelva de dos formas diferentes y demuestre que la respuesta final es la misma.
  5. Encuentra el radio de un c√≠rculo con un di√°metro cuyos extremos son (‚Äď7, 1) y (1, 3).
  6. Encuentre los dos puntos del formulario a la izquierda ({{color {red} {x}}, - 4} derecha) que tienen la misma distancia de 10 unidades desde el punto izquierdo ({3,2} derecha).

Ejemplo 1: ¬ŅQu√© tan lejos est√° el punto (6,8) del origen?

El origen es el punto rojo con la coordenada x de 0 y la coordenada y de 0. Podemos escribirlo en pares ordenados como el color {rojo} izquierda ({0,0} derecha).


Mientras que el otro punto es el punto azul que tiene una coordenada x de 6 y una coordenada y de 8. De manera similar, esto se puede escribir como el color del par ordenado {azul} izquierda ({6,8} derecha).

Si trazamos los puntos de color {rojo} a la izquierda ({0,0} a la derecha) y color {azul} a la izquierda ({6,8} a ‚Äč‚Äčla derecha) en un plano cartesiano, obtendremos algo similar al de abajo.

La fórmula de la distancia

Si dejamos que el origen sea el primer punto, entonces tenemos left ({{x_1}, {y_1}} right) = left ({0,0} right) lo que implica {x_1} = 0 e {y_1} = 0.

En consecuencia, el segundo punto quedar√≠a a la izquierda ({6,8} a ‚Äč‚Äčla derecha). Por lo tanto, left ({{x_2}, {y_2}} right) = left ({6,8} right) lo que significa {x_2} = 6 e {y_2} = 8.

Ahora, sustituimos los valores en la fórmula de distancia y luego simplificamos para obtener la distancia entre los dos puntos en cuestión.

La fórmula de la distancia

ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los dos puntos (-3, 2) y (3, 5).

Etiquete las partes de cada punto correctamente y sustit√ļyalas en la f√≥rmula de la distancia.

Si dejamos que la izquierda ({- 3,2} derecha) sea el primer punto entonces tomará el subíndice de 1, por lo tanto, {x_1} = - 3 y {y_1} = 2.

Del mismo modo, si a la izquierda ({3,5} derecha) sea el segundo punto tendrá el subíndice de 2, por lo tanto, {x_2} = 3 y {y_2} = 5.

Aquí está el cálculo,

La fórmula de la distancia

Por tanto, la distancia entre dos puntos (-3, 2) y (3, 5) es 3sqrt 5. As√≠ es como se ve en un gr√°fico.

La fórmula de la distancia

Ejemplo 3: ¬ŅCu√°l es la distancia entre los puntos (‚Äď1, ‚Äď1) y (4, ‚Äď5)?

Si asignamos left ({- 1, - 1} right) como nuestro primer punto, entonces

La fórmula de la distancia

De la misma manera, asignando left ({4, - 5} right) como nuestro segundo punto, tenemos

La fórmula de la distancia

Reemplazando los valores de xey, obtenemos:

La fórmula de la distancia

Los dos puntos y la distancia entre ellos, que es sqrt {41}, se pueden mostrar en un gráfico como el que se muestra a continuación.

La fórmula de la distancia

Ejemplo 4: ¬ŅA cu√°ntas unidades de distancia est√°n los puntos (‚Äď4, ‚Äď3) y (4, 3)? Resuelva de dos formas diferentes y demuestre que la respuesta final es la misma.

A veces puede preguntarse si cambiar los puntos al calcular la distancia puede afectar el resultado final.

Bueno, si lo piensas bien, la fórmula es elevar al cuadrado la diferencia de los valores correspondientes de x e y. Eso significa que no importa si el cambio en x, también conocido como delta x, o el cambio en y, también conocido como delta y, es negativo porque cuando finalmente lo elevamos al cuadrado (elevamos a la segunda potencia), el resultado siempre resulta ser positivo.

¬°"Demostremos" que la respuesta es siempre la misma resolviendo este problema de dos maneras!

La primera solución muestra la forma habitual porque asignamos qué punto es el primero y el segundo en función del orden en que se nos dan en el problema. En la segunda solución, cambiamos los puntos.

  • soluci√≥n 1:
La fórmula de la distancia La fórmula de la distancia La fórmula de la distancia

unidades 10

  • soluci√≥n 2:
La fórmula de la distancia La fórmula de la distancia La fórmula de la distancia

unidades 10

Como puede ver, ambas soluciones llegaron a la misma respuesta o resultado, que es la distancia de 10, d = 10. A continuación se muestra la solución visual del problema.

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Ejemplo 5: Encuentre el radio de un c√≠rculo con un di√°metro cuyos extremos son (-7, 1) y (1, 3).

Recuerda que el diámetro de un círculo es el doble de la longitud de su radio. Si ese es el caso, entonces el radio es la mitad de la longitud del diámetro.

La fórmula de la distancia

¡Aquí está el plan! Dado que se nos dan los puntos finales del diámetro, podemos usar la fórmula de la distancia para encontrar su longitud. Finalmente, lo dividimos por 2 para obtener la longitud del radio, como lo requiere el problema.

  • Encuentre la longitud del di√°metro con los extremos izquierdo ({- 7,1} derecho) e izquierdo ({1,3} derecho).
La fórmula de la distancia
  • Resuelve el radio dividiendo el di√°metro por 2.
La fórmula de la distancia
  • Los puntos azules son los puntos finales del di√°metro y el punto verde es el centro del c√≠rculo (calculado usando la f√≥rmula del punto medio) ubicado a la izquierda ({- 3,2} derecha).
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Ejemplo 6: Encuentre los dos puntos del formulario a la izquierda ({{color {red} {x}}, - 4} derecha) que tienen la misma distancia de 10 unidades desde el punto izquierdo ({3,2} derecha).

Este problema es ligeramente diferente. Observe que un punto, a saber, la izquierda ({x, -, 4} derecha), contiene la variable color grande {rojo} x en lugar de un n√ļmero espec√≠fico.

Sugiero que aborde esto de la misma manera que los problemas anteriores. Ahora, asigne cuál de los puntos será el primero y el segundo, es decir, izquierdo ({{x_1}, {y_1}} derecho) e izquierdo ({{x_2}, {y_2}} derecho), respectivamente. Luego sustituye los valores en la fórmula y resuelve.

En este caso, ver√° inmediatamente que no obtendr√° un valor como la distancia. En cambio, tendr√°s que resolver una ecuaci√≥n cuadr√°tica para obtener dos n√ļmeros. Tenga cuidado aqu√≠. Cualquiera de los dos n√ļmeros no representa una distancia. Los dos n√ļmeros ser√°n las coordenadas x de dos puntos. Recuerde que la coordenada x es siempre el primer valor del par ordenado a la izquierda ({{color {red} {x}}, y} derecha)

Depende de usted designar cu√°l ser√° el primer punto, por lo que obligar√° al otro punto a ser el segundo.

No importa cu√°l de los dos puntos seleccione como primer o segundo punto porque el resultado siempre ser√° el mismo que se muestra en el Ejemplo # 4.

Recuerde, la fórmula de distancia se construye de la siguiente manera:

  • la segunda coordenada x restada por la primera coordenada x
  • la segunda coordenada y restada por la primera coordenada y

Tiene sentido para nosotros dejar que el punto izquierdo ({{color {rojo} {x}}, - 4} derecho) sea el segundo punto mientras que el izquierdo ({3,2} derecho) sea el primer punto.

Al hacerlo, tendremos una situaci√≥n en la que la variable color {rojo} x se resta del n√ļmero 3. Por lo tanto, x-3. Esto es genial porque el coeficiente de la variable color {rojo} {x} es positivo.

La fórmula de la distancia

No olvide que los dos puntos tienen la misma distancia de 10 unidades de (3,2).

Sustituimos los valores anteriores en la fórmula de distancia a continuación y luego simplificamos.

La fórmula de la distancia

Ahora, eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar el símbolo de la raíz cuadrada del lado derecho. Luego, resta ambos lados por 100 para que el lado izquierdo sea igual a 0. Finalmente, factoriza el trinomio en el lado derecho y luego iguala cada factor a 0 para resolver para x.

La fórmula de la distancia

Por lo tanto, los dos puntos izquierdo ({{color {rojo} {11}}, - 4} derecho) e izquierdo ({{color {rojo} {- 5}}, - 4} derecho) tienen la misma distancia de color {azul} 10 unidades desde el punto a la izquierda ({3,2} a la derecha).

Dejaré que usted verifique que la distancia entre {izquierda ({11, -, 4} derecha)} e {izquierda ({3,2} derecha)}, y entre {izquierda ({- 5, -, 4 } right)} y {left ({3,2} right)} son ambos 10 unidades.

La fórmula de la distancia

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