El Fórmula de distancia es una herramienta útil para encontrar la distancia entre dos puntos que se pueden representar arbitrariamente como puntos a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} a la derecha).
La fórmula de la distancia en sí se deriva del teorema de Pitágoras, que es {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} donde c es el lado más largo de un triángulo rectángulo (también conocido como hipotenusa) y ay b son los otros lados más cortos (conocidos como los catetos de un triángulo rectángulo).
La esencia misma de la fórmula de la distancia es calcular la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo que está representado por la letra c.
Por eso podemos afirmar que la idea de la fórmula de distancia es prestado y derivado from the Teorema de pitágoras. Si desea ver cómo se deriva la fórmula de distancia del teorema de Pitágoras, consulte mi lección sobre cómo derivar la fórmula de distancia.
Fórmula de distancia como derivada del teorema de Pitágoras
La distancia d entre dos puntos
y
se calcula o calcula utilizando la siguiente fórmula:
A continuación se muestra una ilustración que muestra que la Fórmula de la distancia se basa en el Teorema de Pitágoras donde la distancia d es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Observaciones:
a) La expresión {x_2} - {x_1} se lee como el "cambio en x".
b) La expresión {y_2} - {y_1} se lee como el "cambio en y".
Ejemplos de uso de la fórmula de distancia
A continuación se muestra una lista de todos los problemas de esta lección.
- ¿Qué tan lejos está el punto (6,8) del origen?
- Calcula la distancia entre los dos puntos (–3, 2) y (3, 5).
- ¿Cuál es la distancia entre los puntos (–1, –1) y (4, –5)?
- ¿A cuántas unidades de distancia están los puntos (–4, –3) y (4, 3)? Resuelva de dos formas diferentes y demuestre que la respuesta final es la misma.
- Encuentra el radio de un círculo con un diámetro cuyos extremos son (–7, 1) y (1, 3).
- Encuentre los dos puntos del formulario a la izquierda ({{color {red} {x}}, - 4} derecha) que tienen la misma distancia de 10 unidades desde el punto izquierdo ({3,2} derecha).
Ejemplo 1: ¿Qué tan lejos está el punto (6,8) del origen?
El origen es el punto rojo con la coordenada x de 0 y la coordenada y de 0. Podemos escribirlo en pares ordenados como el color {rojo} izquierda ({0,0} derecha).
Mientras que el otro punto es el punto azul que tiene una coordenada x de 6 y una coordenada y de 8. De manera similar, esto se puede escribir como el color del par ordenado {azul} izquierda ({6,8} derecha).
Si trazamos los puntos de color {rojo} a la izquierda ({0,0} a la derecha) y color {azul} a la izquierda ({6,8} a la derecha) en un plano cartesiano, obtendremos algo similar al de abajo.
Si dejamos que el origen sea el primer punto, entonces tenemos left ({{x_1}, {y_1}} right) = left ({0,0} right) lo que implica {x_1} = 0 e {y_1} = 0.
En consecuencia, el segundo punto quedaría a la izquierda ({6,8} a la derecha). Por lo tanto, left ({{x_2}, {y_2}} right) = left ({6,8} right) lo que significa {x_2} = 6 e {y_2} = 8.
Ahora, sustituimos los valores en la fórmula de distancia y luego simplificamos para obtener la distancia entre los dos puntos en cuestión.
ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los dos puntos (-3, 2) y (3, 5).
Etiquete las partes de cada punto correctamente y sustitúyalas en la fórmula de la distancia.
Si dejamos que la izquierda ({- 3,2} derecha) sea el primer punto entonces tomará el subíndice de 1, por lo tanto, {x_1} = - 3 y {y_1} = 2.
Del mismo modo, si a la izquierda ({3,5} derecha) sea el segundo punto tendrá el subíndice de 2, por lo tanto, {x_2} = 3 y {y_2} = 5.
Aquí está el cálculo,
Por tanto, la distancia entre dos puntos (-3, 2) y (3, 5) es 3sqrt 5. Así es como se ve en un gráfico.
Ejemplo 3: ¿Cuál es la distancia entre los puntos (–1, –1) y (4, –5)?
Si asignamos left ({- 1, - 1} right) como nuestro primer punto, entonces
De la misma manera, asignando left ({4, - 5} right) como nuestro segundo punto, tenemos
Reemplazando los valores de xey, obtenemos:
Los dos puntos y la distancia entre ellos, que es sqrt {41}, se pueden mostrar en un gráfico como el que se muestra a continuación.
Ejemplo 4: ¿A cuántas unidades de distancia están los puntos (–4, –3) y (4, 3)? Resuelva de dos formas diferentes y demuestre que la respuesta final es la misma.
A veces puede preguntarse si cambiar los puntos al calcular la distancia puede afectar el resultado final.
Bueno, si lo piensas bien, la fórmula es elevar al cuadrado la diferencia de los valores correspondientes de x e y. Eso significa que no importa si el cambio en x, también conocido como delta x, o el cambio en y, también conocido como delta y, es negativo porque cuando finalmente lo elevamos al cuadrado (elevamos a la segunda potencia), el resultado siempre resulta ser positivo.
¡"Demostremos" que la respuesta es siempre la misma resolviendo este problema de dos maneras!
La primera solución muestra la forma habitual porque asignamos qué punto es el primero y el segundo en función del orden en que se nos dan en el problema. En la segunda solución, cambiamos los puntos.
- solución 1:
unidades 10
- solución 2:
unidades 10
Como puede ver, ambas soluciones llegaron a la misma respuesta o resultado, que es la distancia de 10, d = 10. A continuación se muestra la solución visual del problema.
Ejemplo 5: Encuentre el radio de un círculo con un diámetro cuyos extremos son (-7, 1) y (1, 3).
Recuerda que el diámetro de un círculo es el doble de la longitud de su radio. Si ese es el caso, entonces el radio es la mitad de la longitud del diámetro.
¡Aquí está el plan! Dado que se nos dan los puntos finales del diámetro, podemos usar la fórmula de la distancia para encontrar su longitud. Finalmente, lo dividimos por 2 para obtener la longitud del radio, como lo requiere el problema.
- Encuentre la longitud del diámetro con los extremos izquierdo ({- 7,1} derecho) e izquierdo ({1,3} derecho).
- Resuelve el radio dividiendo el diámetro por 2.
- Los puntos azules son los puntos finales del diámetro y el punto verde es el centro del círculo (calculado usando la fórmula del punto medio) ubicado a la izquierda ({- 3,2} derecha).
Ejemplo 6: Encuentre los dos puntos del formulario a la izquierda ({{color {red} {x}}, - 4} derecha) que tienen la misma distancia de 10 unidades desde el punto izquierdo ({3,2} derecha).
Este problema es ligeramente diferente. Observe que un punto, a saber, la izquierda ({x, -, 4} derecha), contiene la variable color grande {rojo} x en lugar de un número específico.
Sugiero que aborde esto de la misma manera que los problemas anteriores. Ahora, asigne cuál de los puntos será el primero y el segundo, es decir, izquierdo ({{x_1}, {y_1}} derecho) e izquierdo ({{x_2}, {y_2}} derecho), respectivamente. Luego sustituye los valores en la fórmula y resuelve.
En este caso, verá inmediatamente que no obtendrá un valor como la distancia. En cambio, tendrás que resolver una ecuación cuadrática para obtener dos números. Tenga cuidado aquí. Cualquiera de los dos números no representa una distancia. Los dos números serán las coordenadas x de dos puntos. Recuerde que la coordenada x es siempre el primer valor del par ordenado a la izquierda ({{color {red} {x}}, y} derecha)
Depende de usted designar cuál será el primer punto, por lo que obligará al otro punto a ser el segundo.
No importa cuál de los dos puntos seleccione como primer o segundo punto porque el resultado siempre será el mismo que se muestra en el Ejemplo # 4.
Recuerde, la fórmula de distancia se construye de la siguiente manera:
- la segunda coordenada x restada por la primera coordenada x
- la segunda coordenada y restada por la primera coordenada y
Tiene sentido para nosotros dejar que el punto izquierdo ({{color {rojo} {x}}, - 4} derecho) sea el segundo punto mientras que el izquierdo ({3,2} derecho) sea el primer punto.
Al hacerlo, tendremos una situación en la que la variable color {rojo} x se resta del número 3. Por lo tanto, x-3. Esto es genial porque el coeficiente de la variable color {rojo} {x} es positivo.
No olvide que los dos puntos tienen la misma distancia de 10 unidades de (3,2).
Sustituimos los valores anteriores en la fórmula de distancia a continuación y luego simplificamos.
Ahora, eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado para eliminar el símbolo de la raíz cuadrada del lado derecho. Luego, resta ambos lados por 100 para que el lado izquierdo sea igual a 0. Finalmente, factoriza el trinomio en el lado derecho y luego iguala cada factor a 0 para resolver para x.
Por lo tanto, los dos puntos izquierdo ({{color {rojo} {11}}, - 4} derecho) e izquierdo ({{color {rojo} {- 5}}, - 4} derecho) tienen la misma distancia de color {azul} 10 unidades desde el punto a la izquierda ({3,2} a la derecha).
Dejaré que usted verifique que la distancia entre {izquierda ({11, -, 4} derecha)} e {izquierda ({3,2} derecha)}, y entre {izquierda ({- 5, -, 4 } right)} y {left ({3,2} right)} son ambos 10 unidades.
Usted también puede estar interesado en:
Derivación de la fórmula de la distancia
Fórmula de punto medio
