Método de sustitución (sistemas de ecuaciones lineales)

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Alejandra Rangel
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Método de sustitución (sistemas de ecuaciones lineales)

Cuando dos ecuaciones de una línea se cruzan en un solo punto, decimos que tiene una solución única que se puede describir como un punto, color {rojo} izquierda ({x, y} derecha), en el Plano XY.

El método de sustitución se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales al encontrar los valores exactos de xey que corresponden al punto de intersección.

Un diagrama que muestra dos líneas que se cruzan en un punto

El siguiente diagrama ilustra dos líneas arbitrarias que muestran dónde se cruzan, como se describe en el par ordenado a la izquierda ({x, y} derecha). En esta lección, estamos interesados ​​en resolver manualmente ese punto en común.



Ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones mediante el método de sustitución

Ejemplo 1: Usa el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones lineales a continuación.


La idea es elegir una de las dos ecuaciones dadas y resolver cualquiera de las variables, x o y. El resultado de nuestro primer paso se sustituirá en la otra ecuación. El efecto será una sola ecuación con una variable que se puede resolver como de costumbre.


Depende totalmente de la ecuación que crea que será mucho más fácil de manejar. La decisión es tuya.

Observe que la ecuación superior contiene una variable x que está "sola", lo que significa que su coeficiente es +1. Recuerda buscar siempre esta característica (una variable “sola”) porque te hará la vida mucho más fácil.


Ahora, empiezo resolviendo la ecuación superior para x.

Como sé a qué es igual x en términos de y, puedo insertar esta expresión en la otra ecuación. Con esto terminaré resolviendo una ecuación con una sola variable.

Con suerte, obtendrá el mismo valor de y = -, 5. Ahora que sé cuál es el valor exacto de y, resolveré la otra variable (en este caso, x) evaluando su valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales. No importa qué ecuación original elija, ya que finalmente dará la misma respuesta.



Sin embargo, debo decir que la "mejor" ruta para resolver x es usar la ecuación revisada que resolví previamente ya que tengo "x = algo de y". ¿Derecha?

Aquí obtengo x = 1. En forma de notación de puntos, la respuesta final se puede escribir como izquierda ({1, -, 5} derecha). Recuerde, este es el punto en el que las dos líneas se cruzan.

 Siempre es un buen hábito verificar esos valores en las ecuaciones originales para verificar si realmente son las respuestas correctas. Sugiero que los revise en todo momento.


Gráficamente, la solución se ve así.

Ejemplo 2: Usa el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

La opción obvia aquí es elegir la ecuación inferior porque la variable y tiene un coeficiente positivo a la izquierda ({+ 1} a la derecha). Ahora puedo resolver fácilmente para y en términos de x. Para empezar, restaré ambos lados por 3x.

Después de resolver y de la ecuación inferior, ahora paso a la ecuación superior y sustituyo la expresión por y en términos de x. El resultado será una ecuación de varios pasos con una sola variable.

Resuelve esta ecuación simplificando el paréntesis primero. Después de eso, combine términos semejantes en ambos lados y aísle la variable a la izquierda. Su solución debería ser similar a continuación.

Si resolvió correctamente para x, también debe llegar al valor x = 3.

Dado que la ecuación inferior revisada ya está escrita en la forma que me gusta, la usaré para resolver el valor exacto de y.

Con el valor obtenido, y = 1, ahora puedo escribir la respuesta final como el par ordenado a la izquierda ({3,1} derecha).

Como mencioné anteriormente, siempre verifique las respuestas finales usted mismo para ver si verifican usando las ecuaciones originales.

En la gráfica, la solución es el punto de intersección de las dos líneas dadas.

Ejemplo 3: Usa el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.

Este es un gran ejemplo porque tengo dos formas de abordar el problema. Las variables xey tienen ambas un positivo a la izquierda ({+ 1} derecha) como sus coeficientes. Esto significa que puedo ir de cualquier manera.

Para este ejemplo, resolveré para y. Puedo hacerlo fácilmente restando ambos lados por x y reorganizando.

A continuación, escribiré la otra ecuación y reemplazaré su y por y = - x + 3.

Después de resolver la ecuación de varios pasos anterior, obtengo x = 5. Ahora, paso a la versión transformada de la ecuación superior para resolver y.

Aquí obtengo y = -, 2. La respuesta final entonces es izquierda ({x, y} derecha) = izquierda ({5, -, 2} derecha).

De hecho, ¡las dos líneas se cruzan en el punto que calculamos!

Ejemplo 4: Usa el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones.

Encuentro este problema interesante porque no puedo encontrar una situación en la que la variable esté "sola". Nuevamente, nuestra definición de estar "solo" tiene un coeficiente de +1. ¿Recuerda?

Tanto la ecuación superior como la inferior contienen una variable con un símbolo negativo. Sugiero que cada vez que veas algo como esto, cambia ese símbolo negativo a textbf {- 1}. Estoy colocando una flecha azul justo al lado para enfatizar (ver más abajo).

A partir de aquí, puedo proceder a resolver para y usando la ecuación de arriba o para x usando la de abajo. Para este ejercicio, trabajaré en la ecuación inferior.

Observe que para resolver x, dividí toda la ecuación entre - 1. Aquí puede ver que el aspecto de la ecuación cambió drásticamente.

Espero que obtengas y = -, 4 también. De lo contrario, verifique y vuelva a verificar sus pasos para resolver la ecuación de varios pasos.

Luego, use ese valor de y y sustitúyalo en la versión transformada de la ecuación inferior para resolver x.

Entonces obtengo x = -, 2. La respuesta final en par ordenado es izquierda ({x, y} derecha) = izquierda ({-, 2, -, 4} derecha).

El gráfico concuerda con nosotros en el lugar donde se cruzan las dos líneas. ¡Estupendo!

Ejemplo 5: Usa el método de sustitución para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

Lo primero que observé aquí es que no hay ningún caso en el que el coeficiente de la variable sea + 1 o -1. Para algunos, esto puede parecer confuso.

En este problema, es posible aislar la y en la ecuación superior y hacer lo mismo con x en la ecuación inferior. Haz un poco de trabajo de cero y debería tener mucho más sentido.

Se dará cuenta de que xoy se pueden resolver fácilmente porque no se generan fracciones en el proceso. Para este ejercicio, elijo lidiar con la ecuación superior para resolver y.

Como se predijo, la resolución de y salió bien. Ahora, usaré este valor para y y lo sustituiré en la y de la ecuación inferior. Luego, procederé a resolver la ecuación resultante como de costumbre.

Si lo hizo correctamente, su respuesta debería ser x = 2. Inserte este valor de x en la versión revisada de la ecuación superior para encontrar el valor exacto de y.

Aquí tengo y = -, 5. Eso hace que nuestra respuesta final sea el par ordenado a la izquierda ({2, -, 5} a la derecha).

El gráfico confirma nuestros valores calculados para x e y.

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