Regla de Cramer para un sistema 3 × 3 (con tres variables)

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Judit Llordes
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Regla de Cramer para un sistema 3 × 3 (con tres variables)

En nuestra lección anterior, estudiamos cómo usar la regla de Cramer con dos variables. Nuestro objetivo aquí es expandir la aplicación de la regla de Cramer a tres variables generalmente en términos de {x} grande, {y} grande y {z} grande. Repasaré cinco (5) ejemplos prácticos para ayudarlo a familiarizarse con este concepto.

Para hacerlo bien en este tema, debe tener una idea de cómo encontrar el determinante de una matriz 3⨉3. Entonces, esto es lo que haremos primero. ¿Listo?



Fórmula para encontrar el determinante de una matriz 3⨉3

  • Dada una matriz de 3⨉3 
  • Su determinante se puede calcular utilizando la siguiente fórmula.

Hagamos un ejemplo rápido de esto.


Encuentra el determinante de la matriz A

Solución: Asegúrese de seguir la fórmula sobre cómo encontrar el determinante de una matriz de 3 × 3 con cuidado, como se muestra arriba. Más aún, no se apresure cuando realice las operaciones aritméticas necesarias en cada paso. Aquí es donde suelen ocurrir errores comunes, pero se pueden prevenir. Cuando lo haga bien, su solución debería ser similar a la que se muestra a continuación.


Ahora es el momento de repasar el procedimiento sobre cómo usar la regla de Cramer en un sistema lineal que involucra tres variables.


Reglas de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales con tres variables

  • Dado un sistema lineal
  • Etiquetar cada una de las cuatro matrices

matriz de coeficientes:  

X - matriz:  



Y - matriz:  

Z - matriz:  

  • Para resolver x:
  • Para resolver para y:
  • Para resolver para z:

Cosas a observar de la configuración anterior:


1) Los coeficientes de las variables x, y y z utilizan los subíndices a, byc, respectivamente. Mientras que los términos constantes usan subíndices d.

2) Los denominadores para encontrar los valores de x, y, yz son todos iguales, que es el determinante de la matriz de coeficientes (coeficientes que provienen de las columnas de x, y, y z).

3) Para resolver x, los coeficientes de la columna x se reemplazan por la columna constante (en rojo).

4) Para resolver para y, los coeficientes de la columna y se reemplazan por la columna constante (en rojo).

5) De la misma manera, para resolver z, los coeficientes de la columna z se reemplazan por la columna constante (en rojo).

Ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con tres variables usando la regla de Cramer

ejemplo 1: Resuelva el sistema con tres variables según la regla de Cramer.

A partir del sistema dado de ecuaciones lineales, construiré las cuatro matrices que se usarán para resolver los valores de {color {verde} x} grande, {color {verde} y} grande y {color {verde} z grande }.

Utilice la guía anterior para configurar correctamente estas matrices especiales.

  • matriz de coeficientes
  • X - matriz
  • Y - matriz
  • Z - matriz

A continuación, resolveré el determinante de cada matriz. Para hacer esto, puedo resolver manualmente el determinante de cada matriz en papel usando la fórmula proporcionada anteriormente. Puede ser tedioso, pero está bien, ya que las buenas habilidades matemáticas se desarrollan resolviendo muchos problemas.

Los valores de los determinantes se enumeran a continuación.

Determinantes de cada matriz:

Las respuestas o soluciones finales se calculan o calculan fácilmente una vez que se encuentran todos los determinantes requeridos.

Valores resueltos para {color {verde} x} grande, {color {verde} y} grande y {color {verde} z} grande.

La respuesta final escrita en notación de puntos es color {azul} izquierda ({x, y, z} derecha) = izquierda ({- 1,1, - 2} derecha).

ejemplo 2: Resuelva el sistema con tres variables según la regla de Cramer.

De hecho, considero la matriz de coeficientes como la matriz "primaria" porque las otras tres matrices se derivan de ella. Por ejemplo, la matriz x es solo la matriz "primaria" con la columna x reemplazada por la columna constante (en rojo). Puede observar que se aplica el mismo patrón al construir las otras matrices: y y z.

  • matriz de coeficientes
  • X - matriz
  • Y - matriz
  • Z - matriz

Después de resolver el determinante de cada matriz, los tengo todos escritos.

Determinantes de cada matriz:

Los valores de x, y y z se calculan de la siguiente manera. Observe que x se obtiene tomando el determinante de la matriz x dividido por el determinante de la matriz de coeficientes. Esta regla se aplica al resto.

Valores resueltos para {color {verde} x} grande, {color {verde} y} grande y {color {verde} z} grande.

Nuestra respuesta final es color {azul} izquierda ({x, y, z} derecha) = izquierda ({-, 4,2,1} derecha).

ejemplo 3: Resuelva el sistema con tres variables según la regla de Cramer.

Este problema es mucho más fácil que los dos primeros ejemplos debido a la presencia de cero entradas en las columnas x, y y constantes. ¿Lo ves? Cuando tenemos cero entradas en una matriz, el cálculo de su determinación se simplifica drásticamente.

De hecho, a medida que aumenta el número de ceros en una matriz cuadrada, el trabajo realizado para encontrar su determinante se reduce en gran medida.

Aquí están las matrices extraídas del sistema de ecuaciones lineales.

  • matriz de coeficientes
  • X - matriz
  • Y - matriz
  • Z - matriz

Resolviendo sus determinantes, obtuve los siguientes valores.

Determinantes de cada matriz:

Esto nos lleva a configurar y calcular fácilmente las respuestas finales.

Valores resueltos para {color {verde} x} grande, {color {verde} y} grande y {color {verde} z} grande.

La respuesta final es color {azul} izquierda ({x, y, z} derecha) = izquierda ({-, 1,6,1} derecha).

ejemplo 4: Resuelva el sistema con tres variables por la regla de Cramer

Escribe las cuatro matrices especiales.

  • matriz de coeficientes
  • X - matriz
  • Y - matriz
  • Z - matriz

Evalúe cada matriz para encontrar su determinante.

Estos son los determinantes de cada matriz:

Utilice la regla de Cramer para obtener las siguientes soluciones.

Valores resueltos para {color {verde} x} grande, {color {verde} y} grande y {color {verde} z} grande.

La respuesta final es color {azul} izquierda ({x, y, z} derecha) = izquierda ({-, 1,2,0} derecha).

ejemplo 5: Resuelva el sistema con tres variables por la regla de Cramer

¡Hagamos un último ejemplo! Espero que en este punto haya tenido suficiente práctica sobre cómo resolver sistemas con tres variables usando la regla de Cramer.

Le sugiero que primero resuelva esto en papel y luego vuelva para comparar su respuesta. No se preocupe, nadie está mirando. ? Cuando esté listo, desplácese hacia abajo para ver la solución.

Construya las cuatro matrices especiales.

  • matriz de coeficientes
  • X - matriz
  • Y - matriz
  • Z - matriz

Encuentre el determinante de cada matriz cuadrada.

Determinantes de cada matriz

Resuelve para x, y y z usando la fórmula dada.

Valores resueltos para {color {verde} x} grande, {color {verde} y} grande y {color {verde} z} grande.

¡Hecho! La respuesta final en forma de puntos es color {azul} izquierda ({x, y, z} derecha) = {grande {izquierda ({-, 3, - {4 sobre 5}, {3 sobre 5}} derecha)}} .

Practica con hojas de trabajo

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