🥇 Resolver desigualdades compuestas

Resolver desigualdades compuestas

Al resolver desigualdades compuestas, nos ocuparemos de dos casos o tipos generales.

El primer caso implica resolver dos desigualdades lineales unidas por la palabra "y". La palabra "y" también se conoce como conjunción. La solución de una desigualdad compuesta "y" es el conjunto de todos los valores de x que satisfacen ambas desigualdades. En otras palabras, desea un conjunto de soluciones que funcione con ambas desigualdades. La otra forma de decirlo es que el conjunto de solución de la desigualdad compuesta "y" es el intersección, representado por el símbolo Large {color {red} cap}, de las dos desigualdades.

En cuanto a las segundo caso, implica resolver dos desigualdades lineales unidas por la palabra "o". La solución de una desigualdad compuesta "o" es el conjunto de todas las x que satisfacen cualquiera de las dos desigualdades o, en ocasiones, satisfacen las dos al mismo tiempo. En otras palabras, desea una solución que funcione en al menos una desigualdad. La otra forma de decirlo es que el conjunto de solución de la desigualdad compuesta "o" es el unión, representado por el símbolo Large {color {red} cup}, de las dos desigualdades.

Para ambos casos, las soluciones de desigualdades compuestas se pueden expresar como gráficas en la recta numérica y también como notaciones de intervalo.

Sugiero que primero grafique las soluciones de las dos desigualdades en la recta numérica antes de escribir la solución de la desigualdad compuesta en la notación de intervalo. Al tener una representación visual de cómo se comportan las dos desigualdades en la recta numérica, es mucho más fácil escribir su notación de intervalo correspondiente.

También repasaremos algunos ejemplos en los que la desigualdad compuesta no tiene solución o solución infinita.

En algún lugar de nuestros ejemplos, discutiremos un caso de desigualdad compuesta "y" que se puede condensar en una única desigualdad con tres partes: lado izquierdo, parte central y lado derecho. Un ejemplo sería - 1 le x le 3 que se deriva de -1 le x y x le 3. Al escribirlo de esta forma, puede permitirnos resolver la desigualdad compuesta mucho más rápido.

Las desigualdades compuestas "Y"

Resuelve la desigualdad compuesta "y" resolviendo cada una de las dos desigualdades por separado y luego examina o considera sus soluciones por completo. Para el caso "y", queremos encontrar todos los números o valores que pueden hacer en las dos desigualdades verdadero.

Ejemplo 1: Resuelve la desigualdad compuesta x - 1> 1 y 27 ge 2x - 1. Representa gráficamente las soluciones en la recta numérica. Luego, escribe tus soluciones en notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: x - 1> 1

Suma 1 a ambos lados de la desigualdad.

x - 1> 1

x - 1 + 1> 1 + 1

color {rojo} x> 2

Segunda desigualdad: 27 ge 2x - 1

Suma ambos lados de la desigualdad por 1 y luego divide por 2. Finalmente, asegúrate de que la variable esté en el lado izquierdo. Cuando intercambias ubicación, en este caso, la variable x se moverá de derecha a izquierda. La orientación relativa del símbolo de desigualdad debe permanecer igual para mantener el significado sin cambios. Una forma de pensarlo es que la "boca" del símbolo de desigualdad se abre hacia el número 14. Entonces, cuando intercambias, la "boca" de la desigualdad aún debe apuntar hacia el 14.

27 ge 2x-1

27 + 1 ge 2x-1 + 1

8 ge 2x

{Large {{{28} over 2}}} ge {Large {{{2x} over 2}}}

14 ge x

color {rojo} x le 14

Las soluciones están dadas por el color {rojo} x> 2 y el color {rojo} x le 14.

PASO 2. Grafica las soluciones en la recta numérica.

Para el color {rojo} x> 2, el punto 2 no se incluye como parte de las soluciones ya que x> 2 significa todos los números mayores que 2. Además, no tiene ninguna condición de igualdad por eso debemos excluir el número 2 Así que pondremos un círculo abierto sobre 2 para indicar que no es una solución. Todas las soluciones son números mayores que 2, por lo que dibujamos una flecha a la derecha de 2.

Para el color {rojo} x le 14, lo leemos como "x es menor o igual que 14". Observe que hay una condición de igualdad, por lo tanto, el número 14 es parte de la solución, por lo que colocaremos un círculo cerrado sobre él. Todos los números a la izquierda del 14 también son soluciones, por lo que dibujaremos una flecha apuntando hacia la izquierda.

Las soluciones finales serán la intersección o superposición de las dos desigualdades: color {red} x> 2 y color {red} x le 14. Observe que todos los números entre 2 y 14 se intersecan, por lo que son parte de las soluciones finales de la “Y” desigualdad compuesta. También se cruzan en el número 14, por lo que lo agregamos en el conjunto de soluciones. Sin embargo, no se cruzan en el punto 2, por lo que lo descartamos como parte de las soluciones. Acabamos de descubrir el conjunto completo de soluciones de la desigualdad compuesta dada.

PASO 3. Escribe las soluciones en notación de intervalo.

Observe que todos los números entre 2 y 14 son parte de las soluciones. Además, se excluye el número 2 porque es con un circulo abierto mientras que 14 está incluido porque está cubierto con un circulo cerrado. Ahora, usamos un corchete redondeado o paréntesis si está excluido (se excluye 2), y usamos un corchete si está incluido (se incluye 14).

Grande {izquierda ({2,14} derecha]}

Se lee como “todos los números mayores que 2 pero menores o iguales a 14”.

Recuerda: Este tipo de intervalo también se conoce como medio cerrado o intervalo semiabierto porque uno de los dos criterios de valoración está incluido pero el otro no.

Ejemplo 2: Resuelve la desigualdad compuesta 2 + 3x> - 10 y 2izquierda ({x - 1} derecha) <x + 4. Representa gráficamente el conjunto de soluciones en la recta numérica. Luego, escribe el conjunto de soluciones en la notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: 2 + 3x> - 10

Resta ambos lados de la desigualdad por 2. Luego divide ambos lados por 3.

2 + 3x> - 10

2 - 2 + 3x> - 10 - 2

3x> - 12

{Large {{{3x} over 3}}}> {Large {{{- 12} over 3}}}

color {rojo} x> -, 4

Segunda desigualdad: 2izquierda ({x - 1} derecha) <x + 4

Distribuye el 2 al binomio dentro del paréntesis. Suma 2 en ambos lados de la desigualdad. Luego, resta ambos lados por x.

2izquierda ({x - 1} derecha) <x + 4

2x - 2 <x + 4

2x - 2 + 2 <x + 4 + 2

2x <x + 6

2x-x <x-x + 6

color {rojo} x <6

Las soluciones están dadas por el color {rojo} x> -, 4 y el color {rojo} x <6.

PASO 2. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica.

A desigualdad estricta es un tipo de desigualdad que es absolutamente mayor que un número, x> a, o absolutamente menor que un número, x

Por otro lado, el símbolo de desigualdad x ge a que se lee como “x es mayor o igual que a y el símbolo de desigualdad x le a que se lee como“ x es menor o igual que a ”son ambos desigualdades no estrictas porque tienen las condiciones de igualdad.

El color de la desigualdad {rojo} x> -, 4 es una desigualdad estricta, por lo tanto, pondremos un círculo abierto sobre -4 ya que no es parte de las soluciones, y dibujaremos una flecha a la derecha. De manera similar, el color {red} x <6 es una desigualdad estricta, por lo que colocaremos un círculo abierto sobre 6 y dibujaremos una flecha a la izquierda.

El conjunto de solución final será la intersección del color {rojo} x> -, 4 y el color {rojo} x <6, que son todos los números entre -4 y 6, pero excluyendo los puntos finales -4 y 6.

PASO 3. Escribe las soluciones en notación de intervalo.

Usaremos corchetes redondeados o paréntesis en ambos lados para indicar que ambos extremos están excluidos del conjunto de soluciones.

Grande {izquierda ({-4,6} derecha)}

Se lee como "todos los números mayores que -4 pero menores que 6".

Recuerda: Este tipo de intervalo también se conoce como intervalo abierto porque los dos puntos finales están excluidos en el conjunto de soluciones. Es decir, NO forman parte de las soluciones.

Ejemplo 3: Resuelve la desigualdad compuesta 5 - 3izquierda ({x - 2} derecha) le x - izquierda ({- 2x + 13} derecha) y 5 - izquierda ({x + 1} derecha) le 2izquierda ({7 - x} derecha) + 1. Grafica el conjunto de soluciones y luego escribe sus soluciones en la notación de intervalo.

PASO 1: Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: 5 - 3izquierda ({x - 2} derecha) le x - izquierda ({- 2x + 13} derecha)

Elimina el paréntesis de cada lado de la desigualdad usando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma. Suma 5 y 6 a la izquierda. Resta ambos lados por 11. Resta ambos lados por 3x. Para resolver x, divide ambos lados entre -6. Como dividimos cada lado por un número negativo, cambiaremos la dirección de la desigualdad. Es decir, "de menor o igual a" a "mayor o igual a".

5 - 3izquierda ({x - 2} derecha) le x - izquierda ({- 2x + 13} derecha)

5 - 3x + 6 la x + 2x - 13

- 3x + 11 el 3x - 13

- 3x + 11-11 el 3x - 13-11

- 3x el 3x - 24

- 3x -3x el 3x - 3x + 24

- 6x le-24

{Large {{{- 6x} over {- 6}}}} le {Large {{{- 24} over {- 6}}}}

color {rojo} x ge 4

Segunda desigualdad: 5 - izquierda ({x + 1} derecha) izquierda 2 ({7 - x} derecha) + 1

Elimina los paréntesis usando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma. Resta 5 por 1 en el lado izquierdo. Resta 4 a ambos lados de la desigualdad. Luego agregue 2x a ambos lados para terminar.

5 - izquierda ({x + 1} derecha) izquierda 2izquierda ({7 - x} derecha) + 1

5 - x - 1 en 14 - 2x + 1

4 - x el 15 - 2x

4 - 4 - x 15 - 4 - 2x

- x 11 a. m. - 2x

- x + 2x el 11 - 2x + 2x

color {rojo} x le 11

Las soluciones están dadas por el color {rojo} x ge 4 y el color {rojo} x le 11.

PASO 2. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica.

Para el color {red} x ge 4, sombrearemos el círculo sobre 4 para mostrar que está incluido en las soluciones porque la desigualdad tiene una condición de igualdad, es decir, “mayor o igual que”. La flecha apunta a la derecha de 4 porque tiene un componente de "mayor que".

Para el color {red} x le 11, también sombrearemos el círculo por encima de 11 para indicar que es parte del conjunto de soluciones ya que la desigualdad tiene una condición de igualdad, es decir, "menor o igual a". La flecha apunta a la izquierda de 11 porque es del caso de menos de.

En cuanto al conjunto de solución final, encontramos todos los puntos donde las dos desigualdades se cruzan. Obviamente, se cruzan entre 4 y 11. Más aún, también se superponen en los puntos finales. Por lo tanto, el conjunto de solución final contiene todos los puntos entre los puntos finales 4 y 11 e incluye los puntos finales.

PASO 3. Escribe el conjunto de soluciones en notación de intervalo.

Usaremos corchetes en ambos lados para indicar que ambos extremos están incluidos en el conjunto de soluciones.

Grande {izquierda [{4,11} derecha]}

Se lee como “todos los números mayores o iguales a 4 pero menores o iguales a 11”.

Recuerda: Este tipo de intervalo también se conoce como intervalo cerrado porque los dos puntos finales están incluidos en el conjunto de soluciones. Es decir, son parte de las soluciones.

Ejemplo 4: Resuelve la desigualdad compuesta 3x - 2izquierda ({1 - x} derecha) <x - 6 y 10 - x <x + 2. Representa gráficamente el conjunto de soluciones y luego escribe sus soluciones en la notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: 3x - 2izquierda ({1 - x} derecha) <x - 6

Distribuya el -2 en el binomio 1-x en el lado izquierdo de la desigualdad para quitar el paréntesis. Agregue 3x y 2x en el lado izquierdo también. Suma 2 a ambos lados de la desigualdad. Resta x en ambos lados. Finalmente, divide ambos lados de la desigualdad entre 4.

3x - 2izquierda ({1 - x} derecha) <x - 6

3x - 2 + 2x <x - 6

5 veces - 2 <x - 6

5x - 2 + 2 <x - 6 + 2

5 veces <x - 4

5x - x <x - x - 4

4x <- 4

{Large {{{4x} over 4}}} <{Large {{{- 4} over 4}}}

color {rojo} x <- 1

Segunda desigualdad: 10 - x <x + 2

Resta ambos lados de la desigualdad por 10. Luego, réstalo también en ambos lados por x. Finalmente, divide cada lado por -2. Dado que estamos dividiendo por un número negativo, debemos voltear o cambiar la dirección del símbolo de desigualdad. En este caso, de menor que a mayor que.

10 - x <x + 2

10 - 10 - x <x + 2 - 10

- x <x - 8

- x - x <x - x - 8

- 2x <- 8

{Grande {{{- 2x} sobre {- 2}}}}> {Grande {{{- 8} sobre {- 2}}}}

color {rojo} x> 4

Observe que las soluciones de las dos desigualdades color {rojo} x <- 1 y color {rojo} x> 4 no se cruzan, y por lo tanto la desigualdad compuesta no tiene solucion.

Es más obvio que no se superponen si miramos sus gráficos en la recta numérica.

Ejemplo 5: Resuelve la desigualdad compuesta - 5 <3x + 7 le 22. Representa gráficamente el conjunto de soluciones y luego escribe sus soluciones en la notación de intervalo.

Esta desigualdad de aspecto híbrido que se compone de dos símbolos de desigualdad y tres partes es en realidad una combinación de dos desigualdades unidas por una conjunción "Y".

Podemos separar esta desigualdad compuesta en dos desigualdades con el conector "Y" y luego resolverlas como de costumbre. Así es como se ve si dividimos la desigualdad compuesta en dos desigualdades más simples.

Sin embargo, no es necesario separarlo en dos desigualdades. Podemos resolver la desigualdad compuesta tal como está. De hecho, me gusta como está porque es mucho más fácil de resolver.

El objetivo es aislar la variable de la parte media. Para mantener todo equilibrado, hagamos lo que hagamos en la parte media, debemos hacer lo mismo en el lado izquierdo y en el lado derecho. Cuando se hace correctamente, ¡la respuesta debería salir bien!

Aquí vamos. ¡Vamos a resolverlo!

PASO 1: Resuelve la desigualdad compuesta.

Para resolver x, restamos el medio por 7, lo que significa que tenemos que hacer lo mismo con el lado izquierdo y derecho de la desigualdad compuesta. Finalmente, para aislar x, dividimos el medio por 3 lo que haremos lo mismo a la izquierda y a la derecha.

- 5 <3x + 7 le 22

- 5 {color {red} - 7} <3x + 7 {color {red} - 7} le 22 {color {red} - 7}

- 12 <3x le 15

{Large {{{- 15} over {color {red} 3}}}} <{Large {{{3x} over {color {red} 3}}}} le {Large {{{15} over {color { rojo} 3}}}}

- 4 <x le 5

Las soluciones están dadas por - 4 <x le 5.

PASO 2. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica.

PASO 3. Escribe las soluciones en notación de intervalo.

Grande {izquierda ({-4,5} derecha]}

Se lee como "todos los números mayores que -4 pero menores o iguales a 5".

Las desigualdades compuestas "OR"

Resuelve la desigualdad compuesta "o" resolviendo cada una de las dos desigualdades por separado. Para el caso "o", queremos encontrar todos los números que pueden hacer al menos uno de las dos desigualdades a ser verdadero.

Ejemplo 6: Resuelve la desigualdad compuesta 2x - 5> 3x + 2 o x - 1 <2x - 5. Representa gráficamente las soluciones en la recta numérica. Luego, escribe tus soluciones en notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Suma 5 a ambos lados de la desigualdad. Luego reste 3x en ambos lados. Finalmente, divide -1 en ambos lados. No olvides darle la vuelta al símbolo de desigualdad porque dividimos un número por un número negativo.

Primera desigualdad: 2x - 5> 3x + 2

2x - 5> 3x + 2

2x - 5 + 5> 3x + 2 + 5

2x> 3x + 7

2x - 3x> 3x - 3x + 7

-x> 7

{Grande {{{- x} sobre {- 1}}}} <{Grande {{7 sobre {- 1}}}}

color {rojo} x <- 7

Segunda desigualdad: x - 1 <2x - 5

Suma ambos lados por 1. Luego resta 2x a ambos lados. Divida ambos lados de la desigualdad por -1, cambiando así la dirección del símbolo de desigualdad.

x - 1 <2x - 5

x - 1 + 1 <2x - 5 + 1

x <2x - 4

x --2x <2x --2x --4

- x <- 4

{Large {{{- x} over {- 1}}}}> {Large {{4 over {- 1}}}}

color {rojo} x> 4

Las soluciones se dan por color {rojo} x <- 7 o color {rojo} x> 4.

PASO 2. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica.

PASO 3. Escribe las soluciones en notación de intervalo.

izquierda ({- infty, 7} derecha) taza izquierda ({4, infty} derecha)

Se lee como "todos los números menos de 7 negativos or todos los números mayores de 4 ”.

Ejemplo 7: Resuelve la desigualdad compuesta 2left ({x + 1} right) le x - 2 o 3left ({x - 1} right) le 4x - 3. Representa gráficamente las soluciones en la recta numérica. Luego, escribe tus soluciones en notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: 2izquierda ({x + 1} derecha) le x - 2

Distribuye 2 en la cantidad (x + 1). Resta 2 en ambos lados de la desigualdad. Finalmente, resta x en ambos lados para llegar a la solución final.

Segunda desigualdad: 3izquierda ({x - 1} derecha) le 4x - 3

Distribuya 3 en la cantidad (x-1). Luego, suma 3 a ambos lados de la desigualdad. Luego, resta los lados por 4x. Finalmente divide ambos lados por -1. No olvide cambiar la dirección de la desigualdad de "menor o igual a" a "mayor o igual a".

Las soluciones se dan por color {red} x le - 4 o color {red} x ge 0.

PASO 2. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica.

PASO 3. Escribe las soluciones en notación de intervalo.

izquierda ({- infty, - 4} derecha) taza izquierda ({0, infty} derecha)

Se lee como "todos los números menores o iguales a -4 or todos los números mayores o iguales a 0 ”.

Ejemplo 8: Resuelve la desigualdad compuesta 2left ({x + 1} right) - 3left ({x + 1} right) <0 o 4x + 3 ge 15 + 6x. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica. Luego, escribe el conjunto de soluciones en la notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: 2izquierda ({x + 1} derecha) - 3izquierda ({x + 1} derecha) <0

Aplica la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma dos veces a la izquierda de la desigualdad. Combina términos similares. Agrega 1 en ambos lados. Finalmente, divide ambos lados de la desigualdad entre -1. No olvide cambiar la dirección de apertura del símbolo de desigualdad ya que hemos dividido por un número negativo.

Segunda desigualdad: 4x + 3 ge 15 + 6x

Reste 3 en ambos lados, seguido de restar 6x. Divide cada lado entre -2 y luego cambia la dirección de la desigualdad.

Las soluciones se dan por color {rojo} x> - 1 o color {rojo} x le - 6.

PASO 2. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica.

PASO 3. Escribe las soluciones en notación de intervalo.

izquierda ({- infty, - 6} derecha] taza izquierda ({- 1, infty} derecha)

Se lee como "todos los números menores o iguales a -6 or todos los números mayores o iguales a -1 ”.

Ejemplo 9: Resuelve la desigualdad compuesta 0 <3 - izquierda ({x + 4} derecha) o 2 <1 - izquierda ({x - 2} derecha). Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica. Luego, escribe el conjunto de soluciones en la notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: 0 <3 - izquierda ({x + 4} derecha)

Aplica la propiedad distributiva en el lado derecho de la desigualdad y luego suma x a ambos lados de la desigualdad.

Segunda desigualdad: 2 <1 - izquierda ({x - 2} derecha)

Aplica la propiedad distributiva en el lado derecho y luego suma x a ambos lados de la desigualdad. Finalmente, reste 2 en ambos lados para llegar a la respuesta final.

Las soluciones están dadas por color {rojo} x <- 1 o color {rojo} x <1.

PASO 2. Grafica el conjunto de soluciones en la recta numérica.

PASO 3. Escribe las soluciones en notación de intervalo.

izquierda ({- infty, 1} derecha)

Se lee como "todos los números menores a 1".

Ejemplo 10: Resuelve la desigualdad compuesta 10x - 8 <7x + 7 o 3x - 2left ({2 - x} right) ge 1. Representa gráficamente el conjunto de soluciones en la recta numérica. Luego, escribe el conjunto de soluciones en la notación de intervalo.

PASO 1. Resuelve cada desigualdad.

Primera desigualdad: 10x - 8 <7x + 7

Suma 8 a ambos lados. Luego, resta 7x en ambos lados. Finalmente, divide ambos lados por 3 positivo.

Segunda desigualdad: 3x - 2izquierda ({2 - x} derecha) ge 1

Aplica la propiedad distributiva en el lado izquierdo. Combina términos similares. Suma 4 uno en ambos lados. Finalmente, divide 5 positivo en ambos lados.