Cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de factorización

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Lluís Enric Mayans
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Cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de factorización

Este es el método más fácil de resolver una ecuación cuadrática siempre que el binomio o trinomio sea fácilmente factorizable. De lo contrario, necesitaremos otros métodos, como completar el cuadrado o usar la fórmula cuadrática.

El siguiente diagrama ilustra el enfoque principal para resolver una ecuación cuadrática mediante el método de factorización.

Idea principal de usar el método de factorización para resolver una ecuación cuadrática

El diagrama anterior sugiere los siguientes puntos clave:



  • Un lado de la ecuación es cero.
  • El lado opuesto debe contener los factores del polinomio dado.
  • Una vez que se cumplen las dos condiciones indicadas anteriormente, ahora está BIEN establecer cada factor en cero y luego resolver el valor de la variable desconocida.

Ejemplos de cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de factorización

ejemplo 1: Resuelva la siguiente ecuación cuadrática mediante el método de factorización.


Considero este tipo de problema como un "obsequio" porque ya está configurado para que encontremos las soluciones. ¡Observa que el lado izquierdo contiene factores de algún polinomio y el lado derecho es solo cero!


Lo que tenemos que hacer es simplemente igualar cada factor a cero y resolver cada ecuación para x.

Las respuestas son x = -, 7 y x = 2. Puede volver a sustituir estos valores de x a la ecuación original para verificar si son respuestas verdaderas. Te lo dejo como ejercicio.


ejemplo 2: Resuelva la siguiente ecuación cuadrática mediante el método de factorización.

El lado izquierdo de la ecuación es un binomio. Eso significa que puedo sacar un factor monomio. Si lo piensas bien, entre los coeficientes numéricos -, 2 y 6, puedo factorizar -, 2. Más aún, entre {x ^ 2} y x, puedo factorizar x. Entonces, para encontrar el factor general (es como encontrar el MCD), multiplicaré -, 2 yx para obtener -, 2x.


Tenga en cuenta que también puedo factorizar 2x en lugar de -, 2x. La respuesta final debería ser la misma. ¡Pruébalo!


ejemplo 3: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando el método de factorización.

¿Ha factorizado un trinomio antes donde el coeficiente del término al cuadrado es + 1? Si no es así, es muy sencillo.

Para factorizar este trinomio en dos binomios, necesito encontrar dos números (por ensayo y error) que satisfagan dos condiciones dadas:

  • El producto de estos dos números es igual al término constante (último número) que es - 10.
  • La suma de estos dos números es igual al coeficiente del término lineal que es + 3.

Dado que el producto de dos números es negativo, sé que estos números deben tener signos opuestos. Más aún, tener una suma de números positivos implica que el número con el valor absoluto más grande debe ser positivo.


Si lo resuelve mentalmente o usa papel y lápiz para recorrer las posibles combinaciones, los dos números que pueden satisfacer las condiciones dadas son + 5 y - 2.

Para comprobar, sus productos izquierda ({+, 5} derecha) izquierda ({-, 2} derecha) = - 10, y su suma izquierda ({+, 5} derecha) ,, + ,, izquierda ({-, 2 } derecha) = + 3. ¡Funciona muy bien!

Las soluciones finales son x = -, 5 y x = 2.

ejemplo 4: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando el método de factorización.

Entre los coeficientes 3 y - 27, puedo sacar 3. Y entre {x ^ 3} yx, puedo sacar x. Por lo tanto, la expresión general que puedo factorizar es su producto: izquierda (3 derecha) izquierda (x derecha) = 3x.

Observe que después de factorizar 3x, me quedo con un binomio "especial" llamado "Diferencia de dos cuadrados" que es muy fácil de factorizar.

Siempre ocurre que los signos del medio serán opuestos (ver amarillo).

Aquí está la solución completa.

Debe realizar una sustitución inversa para verificar que x = 0, x = -, 3 y x = 3 son las soluciones correctas.

ejemplo 5: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando el método de factorización.

Lo primero que me doy cuenta de este problema es que un lado de la ecuación no contiene cero. Puedo crear fácilmente un cero en el lado derecho restando ambos lados por 20.

Después de hacerlo, el lado izquierdo debe tener un trinomio factorizable que sea muy similar al problema 3.

Para factorizar este trinomio, piense en dos números cuando se multiplican juntos da - 14 (término constante) y cuando se suman da + 5 (coeficiente del término x). Por ensayo y error, los números deben ser 2 y 7. Puede verificar esta combinación correcta.

Las respuestas finales son x = 2 y x = -, 7.

ejemplo 6: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando el método de factorización.

Solución:

Aquí tenemos x = -, 6 y x = 7 como nuestras respuestas finales.

ejemplo 7: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando el método de factorización.

Solución:

Nuestras respuestas finales son x = 5 y x = 1.

ejemplo 8: Resuelve la siguiente ecuación cuadrática usando el método de factorización.

Solución:

Las soluciones finales son x = 1 y x = -, 3.

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