Construya un ángulo de 60 grados: explicación y ejemplos

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Construya un ángulo de 60 grados: explicación y ejemplos

La forma m√°s f√°cil de construir un √°ngulo de 60 grados es construir un tri√°ngulo equil√°tero, que tendr√° tres √°ngulos de 60 grados cada uno.

La construcción de un triángulo equilátero fue la primera proposición de Euclides en el libro 1 de sus Elementos. Saber cómo construir uno también puede ayudarnos a construir ángulos de 120 grados, ángulos de 30 grados y ángulos de 15 grados.

Antes de continuar con esta sección, es una buena idea repasar los conceptos básicos de la construcción. También es una buena idea revisar la sección sobre la construcción de segmentos de línea, ya que para copiar un segmento de línea se utilizan algunas de las mismas técnicas.



En este tema, cubriremos:

  • C√≥mo construir un √°ngulo de 60 grados

 

Cómo construir un ángulo de 60 grados

Para construir un ángulo de 60 grados, primero necesitamos construir un segmento de línea. Llamémoslo AB. Podemos hacer esto eligiendo dos puntos aleatorios y luego alineando nuestra regla con esos puntos. Si trazamos a lo largo del borde, tendremos el segmento AB.


Ahora, necesitamos usar nuestra br√ļjula para construir dos c√≠rculos. Primero, colocamos la punta de la br√ļjula en B y la punta del l√°piz en A. Luego, manteniendo el punto en su lugar, podemos trazar la circunferencia del c√≠rculo girando la br√ļjula alrededor del punto B. Luego podemos hacer lo mismo colocando el punto en A y la punta del l√°piz en B y trazando una circunferencia girando la br√ļjula.


A continuación, denotamos cualquiera de las dos intersecciones de los círculos como C. Usaremos la de arriba, pero no importa. Si construimos las rectas AC y BC, tenemos un triángulo equilátero.


Es sencillo demostrar que se trata de un tri√°ngulo equil√°tero.

Prueba

AB es un radio de ambos círculos. AC es un radio del círculo centrado en A porque se extiende desde el centro hasta la circunferencia ya que todos los radios de un círculo tienen la misma longitud, AC = AB.

Asimismo, BC es un radio del círculo B porque se extiende desde el centro hasta la circunferencia. En consecuencia, BC = AB.

Entonces, como AC = AB = BC, la propiedad transitiva nos dice que AC = BC. Dado que los tres segmentos de recta forman un tri√°ngulo, el tri√°ngulo debe ser equil√°tero.



Nota sobre la medición de ángulos

Recuerde que la geometría axiomática no suele utilizar medidas. Por lo tanto, construir un ángulo de 60 grados no es exactamente lo que deberíamos llamar este ángulo.

En cambio, necesitamos mirar el ángulo relativo a los objetos geométricos. Podríamos llamarlo un tercio de una línea recta o un tercio de dos ángulos rectos. El primer ejemplo mostrará una prueba de que un tercio de una línea recta es de hecho igual a cualquier ángulo en un triángulo equilátero.

Ejemplos

En esta sección, cubriremos problemas relacionados con la construcción de un ángulo de 60 grados.

ejemplo 1

Demuestre que un ángulo de un triángulo equilátero es un tercio de la medida de una línea recta.

Ejemplo 1 Solución

En realidad, es más fácil hacer esto con una construcción mostrando que:

  1. Todos los √°ngulos de un tri√°ngulo equil√°tero son iguales y
  2. Tres de estos ángulos juntos forman una línea recta.

Para probar la primera parte, usemos algunos hechos sobre triángulos isósceles que Euclides demuestra en los Elementos 1.5. Es decir, usaremos el hecho de que los ángulos en la base de los triángulos isósceles son iguales.

Dado que el triángulo equilátero tiene dos lados iguales, los ángulos en su base también deben ser los mismos. Si tomamos AB a la base y AC, BC como lados iguales, sabemos que los ángulos CAB y CBA son iguales.

Si consideramos que AC es la base y BC, AB son los lados iguales, entonces notamos que los √°ngulos BCA y CAB son los mismos.


Dado que BCA = CAB = CBA, los tres √°ngulos son iguales.

Para la segunda parte de la prueba, construiremos una línea recta usando tres ángulos de un triángulo equilátero.

Hacemos esto ampliando lo que hicimos para construir el tri√°ngulo equil√°tero en primer lugar.

Primero, construya un círculo con centro C y radio CA. Este círculo intersecará los dos círculos originales en diferentes puntos, que llamaremos D y E. Conecte D con A y C, y luego conecte E con B y C.

Ahora, tenemos tres tri√°ngulos equil√°teros, ABC, BCE y ACD.

En particular, los ángulos DCA, ACB y BCE juntos forman la línea recta DE. Dado que cada uno de estos es un ángulo de un triángulo equilátero y cada ángulo es igual, cada ángulo debe ser igual a un tercio de una línea recta.

ejemplo 2

Construya un ángulo de 60 grados en el punto A de una línea.

Ejemplo 2 Solución

En realidad, esto es más fácil de hacer que la construcción general de un ángulo de 60 grados.

Primero, elija un punto B al azar en la línea en la dirección en la que desea construir el ángulo. En este caso, construiremos el ángulo para que mire a la derecha.

Luego, procede como si estuvieras formando un triángulo equilátero con AB como uno de los catetos. Cuando encuentre la intersección de los dos círculos, C, sin embargo, construya AC. Esto será igual a un ángulo de 60 grados.

ejemplo 3

Construye un tri√°ngulo con medidas de 30, 60 y 90 grados.

Ejemplo 3 Solución

Nuevamente, dado que la construcción no usa medidas, también podemos pensar en esto como construir un triángulo con un ángulo recto, un ángulo que es un tercio de una línea recta y un ángulo que es un sexto de una línea recta.

Sin embargo, hay un truco f√°cil que podemos usar para obtener un tri√°ngulo como este.

Si tenemos un triángulo equilátero y creamos una bisectriz perpendicular a través de AB en D, en realidad crearemos el triángulo que estamos buscando.

Tal bisectriz perpendicular también bisecará el ángulo ACB. Esto se debe a que los ángulos CAB y CBA son iguales, los segmentos AD y DB son iguales y AC es igual a BC. Euclides nos dice Elementos 1.4 que si dos triángulos tienen dos lados iguales y el ángulo entre ellos es igual, entonces todos los triángulos son iguales. En consecuencia, los ángulos DCB y DCA serán iguales, lo que significa que DC biseca a ACB.

Dado que ACB era un ángulo en un triángulo equilátero, DCB es la mitad de eso. Esto significa que es 30 grados o un sexto de una línea recta. Dado que DC es una bisectriz perpendicular, CDB es un ángulo recto. Por tanto, el triángulo DCB tiene las medidas necesarias.

ejemplo 4

Construye un √°ngulo de 120 grados.

Ejemplo 4 Solución

Construir un √°ngulo de 120 grados requiere que juntemos dos √°ngulos de 60 grados.

De hecho, podemos usar la misma construcción utilizada en el ejemplo 1 para demostrar que los ángulos de un triángulo equilátero eran iguales a un tercio de una línea recta.

En este caso, el √°ngulo DAB consta de dos √°ngulos m√°s peque√Īos, DAC y CAB. Ambos √°ngulos, sin embargo, son √°ngulos en un tri√°ngulo equil√°tero. Por lo tanto, ambos son de 60 grados, por lo que el √°ngulo DAB ser√° de 120 grados. Usando terminolog√≠a de no medici√≥n, dir√≠amos que es dos tercios de una l√≠nea recta.

ejemplo 5

Construye un hex√°gono regular.

Ejemplo 5 Solución

Los hexágonos tienen ángulos interiores iguales a 120 grados. Por lo tanto, podemos extender la construcción que usamos en los ejemplos 1 y 4 para crear una.

Tendremos que construir un triángulo equilátero ABC. Luego, crea un círculo con centro C y radio CA. Etiquetaremos la intersección de este círculo con el círculo que tiene el centro A como D y la intersección con el círculo que tiene el centro B como E.

Luego, podemos poner la punta de nuestra br√ļjula y E y el l√°piz en C. Entonces podemos construir un nuevo c√≠rculo que tenga centro E y radio EC. Asimismo, podemos construir un c√≠rculo con centro D y radio DC.

Estos círculos cruzarán el círculo con el centro C. Llamemos a las intersecciones F y G, respectivamente.

Ahora, podemos conectar BE, EF, FG, GD y DA. Estas cinco líneas, junto con el segmento original AB, formarán un hexágono.

Problemas de pr√°ctica

  1. Construye un triángulo equilátero de longitud AB de modo que uno de los vértices sea el punto D, el punto medio de AB.

  2. Demuestre que el triángulo que representa la superposición de los dos triángulos idénticos en el ejemplo 1 es equilátero.
  3. Construye un √°ngulo de 210 grados.
  4. Construye un rombo con un par de √°ngulos iguales a 60 grados.
  5. Construye un paralelogramo que no sea un rombo con un par de √°ngulos iguales a 60 grados.

Pr√°ctica Problemas Soluciones

  1. Los √°ngulos GDB y GBD son ambos de 60 grados, por lo que DGB es de 60 grados. Por tanto, el tri√°ngulo es equil√°tero.
  2. El √°ngulo DAB medido en sentido antihorario es de 210 grados.

Las im√°genes / dibujos matem√°ticos se crean con GeoGebra.



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