Desigualdades de valor absoluto: explicación y ejemplos

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Desigualdades de valor absoluto: explicación y ejemplos

El valor absoluto de las desigualdades sigue las mismas reglas que el valor absoluto de los números. La diferencia es que tenemos una variable en el anterior y una constante en el último.


Este artículo mostrará una breve descripción de las desigualdades de valor absoluto, seguido de la método paso a paso para resolver las desigualdades de valor absoluto.

Finalmente, hay ejemplos de diferentes escenarios para una mejor comprensión.


¿Qué es la Desigualdad de Valor Absoluto?

Antes de que podamos aprender a resolver desigualdades de valor absoluto, recordemos el valor absoluto de un número.

Por definición, el valor absoluto de un número es la distancia de un valor desde el origen, independientemente de la dirección. El valor absoluto se indica mediante dos líneas verticales que encierran el número o la expresión.

Por ejemplo:, el valor absoluto de x se expresa como | x | = a, lo que implica que, x = + ay -a. Ahora veamos qué implican las desigualdades de valor absoluto.

Una desigualdad de valor absoluto es una expresión con funciones absolutas y con signos de desigualdad. Por ejemplo, la expresión | x + 3 | > 1 es una desigualdad de valor absoluto que contiene un símbolo mayor que.


Hay cuatro símbolos de desigualdad diferentes para elegir. Estos son menos de (<), mas grande que (>), menor o igual (≤), y mayor o igual (≥). Entonces, las desigualdades de valor absoluto pueden poseer cualquiera de estos cuatro símbolos.

¿Cómo resolver las desigualdades de valor absoluto?

Los pasos para resolver desigualdades de valor absoluto son muy similares a resolver ecuaciones de valor absoluto. Sin embargo, hay información adicional que debe tener en cuenta al resolver desigualdades de valor absoluto.


Las siguientes son las reglas generales a considerar al resolver desigualdades de valor absoluto:

  • Aísle a la izquierda la expresión de valor absoluto.
  • Resuelve las versiones positiva y negativa de la desigualdad de valor absoluto.
  • Cuando el número del otro lado del signo de desigualdad es negativo, concluimos todos los números reales como soluciones o la desigualdad no tiene solución.
  • Cuando el número del otro lado es positivo, procedemos estableciendo una desigualdad compuesta eliminando las barras de valor absoluto.
  • El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la desigualdad compuesta que se formará. Por ejemplo, si un problema contiene mayor o mayor que / igual al signo, establezca una desigualdad compuesta que tenga la siguiente formación:

(Los valores dentro de las barras de valor absoluto) <- (El número en el otro lado) O (Los valores dentro de las barras de valor absoluto)> (El número en el otro lado).

  • De manera similar, si un problema contiene un signo menor o menor que / igual, configure una desigualdad compuesta de 3 partes de la siguiente forma:

- (El número al otro lado del signo de desigualdad) <(cantidad dentro de las barras de valor absoluto) <(El número al otro lado del signo de desigualdad)


 ejemplo 1

Resuelve la desigualdad para x: | 5 + 5x | - 3> 2.

Solución

Aísle la expresión de valor absoluto sumando 3 a ambos lados de la desigualdad;

=> | 5 + 5x | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)

=> | 5 + 5x | > 5.

Ahora resuelva las "versiones" positivas y negativas de la desigualdad de la siguiente manera;


Asumiremos símbolos de valor absoluto resolviendo la ecuación de la manera normal.

=> | 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5.

=> 5 + 5_x_> 5

Resta 5 de ambos lados

5 + 5x (- 5)> 5 (- 5) 5x> 0

Ahora, divide ambos lados entre 5

5x / 5> 0/5

x> 0.

Por tanto, x> 0 es una de las posibles soluciones.

Para resolver la versión negativa de la desigualdad de valor absoluto, multiplique el número del otro lado del signo de desigualdad por -1 e invierta el signo de desigualdad:

| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x <- 5 => 5 + 5x <-5 Restar 5 de ambos lados => 5 + 5x (−5) <−5 (- 5) => 5x <−10 => 5x / 5 < −10/5 => x <−2.

x> 0 ox <−2 son las dos posibles soluciones a la desigualdad. Alternativamente, podemos resolver | 5 + 5x | > 5 usando la fórmula:

(Los valores dentro de las barras de valor absoluto) <- (El número en el otro lado) O (Los valores dentro de las barras de valor absoluto)> (El número en el otro lado).


ilustración:

(5 + 5x) <- 5 O (5 + 5x)> 5

Resuelve la expresión anterior para obtener;

x <−2 o x> 0

ejemplo 2

Resolver | x + 4 | - 6 <9

Solución

Aislar el valor absoluto.

| x + 4 | - 6 <9 → | x + 4 | <15

Dado que nuestra expresión de valor absoluto tiene un signo de desigualdad menor que, configuramos la solución de desigualdad compuesta de 3 partes como:


-15 <x + 4 <15

-19 <x <11

 

ejemplo 3

Resolver | 2x - 1 | - 7 ≥ -3

Solución

Primero, aísle la variable

| 2x - 1 | - 7≥-3 → | 2x - 1 | ≥4

Estableceremos una desigualdad compuesta "o" debido al signo mayor o igual que en nuestra ecuación.

2 - 1≤ - 4 o 2x - 1 ≥ 4

Ahora, resuelve las desigualdades;

2x - 1 ≤ -4 o 2x - 1 ≥ 4

2x ≤ -3 o 2x ≥ 5

x ≤ -3/2 ox ≥ 5/2

 

ejemplo 4

Resolver | 5x + 6 | + 4 <1

Solución

Aislar el valor absoluto.

| 5x + 6 | + 4 <1 → | 5x + 6 | <-3

Dado que el número del otro lado es negativo, verifique también el opuesto para determinar la solución.

| 5x + 6 | <-3

Positivo <negativo (falso). Por tanto, esta desigualdad de valor absoluto no tiene solución.

 

ejemplo 5

Resolver | 3x - 4 | + 9> 5

Solución

Aislar el valor absoluto.

| 3x - 4 | + 9> 5 → | 3x - 4 | > -4

| 5x + 6 | <-3

Dado que, positivo <negativo (verdadero). Por lo tanto, las soluciones a esta desigualdad de valor absoluto son todos números reales.



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