Si está familiarizado con la función exponencial {b ^ N} = M, entonces debe saber que su equivalencia logarítmica es {log _b} M = N. Estas dos ecuaciones aparentemente diferentes son de hecho iguales o equivalentes en todos los sentidos. Mire su relación usando la definición a continuación.
Definición de una función logarítmica
Sea un número positivo pero b ne 1. Decimos que {log _b} M = N (leído como, logaritmo de la base b de M es N) se define como
Grande {{log _b} M = N flecha izquierda {b ^ N} = M}
El propósito de las ecuaciones equivalentes, como se muestra arriba, es proporcionar un vínculo directo entre la forma logarítmica y la forma exponencial. Comprender este concepto básico puede ayudarnos a resolver algunos problemas de álgebra que requieren cambiar de una forma a otra.
Examinemos más a fondo cómo se reorganizan las variables M, N yb cuando la forma logarítmica se expresa como forma exponencial, y viceversa.
Observaciones del “switch” en posiciones de las variables:
- El subíndice b en forma logarítmica se convierte en la base en forma exponencial.
- La base N en forma logarítmica se convierte en el exponente o superíndice de b en forma exponencial.
- La variable M está aislada en un lado de la ecuación.
Aquí hay algunas ilustraciones rápidas sobre cómo convertir de la forma logarítmica a la forma exponencial y viceversa.
Forma logarítmica ⟷ Forma exponencial
{log _3} 81 = 4 ,, flecha izquierda ,, {3 ^ 4} = 81
{log _2} 32 = 5 ,, flecha izquierda ,, {2 ^ 5} = 32
{log _5} 125 = 3 ,, flecha izquierda ,, {5 ^ 3} = 125
{log _7} 49 = 2 ,, flecha izquierda ,, {7 ^ 2} = 49
{log _8} 512 = 3 ,, flecha izquierda ,, {8 ^ 3} = 512
{log _ {10}} 100 = 2 ,, flecha izquierda ,, {10 ^ 2} = 100
{log _ {10}} 1,000 = 3 ,, flecha izquierda ,, {10 ^ 3} = 1,000
{log _ {10}} 10,000 = 4 ,, flecha izquierda ,, {10 ^ 4} = 10,000
{log _ {64}} 2 = {1 sobre 6} ,, flecha izquierda ,, {64 ^ {{1 sobre 6}}} = 2
{log _ {81}} 3 = {1 sobre 4} ,, flecha izquierda ,, {81 ^ {{1 sobre 4}}} = 3
Ahora vamos a discutir "casos especiales" que naturalmente surgen de la definición básica de logaritmo en términos de ecuación exponencial. Usaremos la definición anterior para responder algunas de estas preguntas. La mejor forma de señalar el concepto es mediante el uso de ejemplos.
Ejemplos de cómo resolver ecuaciones logarítmicas básicas
Ejemplo 1: Resolver para y en una ecuación logarítmica log33 = y.
Reescribiendo la ecuación logarítmica log33 = y en forma exponencial obtenemos 3 = 3 años. ¿Cuál crees que es el valor de y que puede hacer que la ecuación exponencial sea verdadera? En otras palabras, queremos encontrar el exponente en el que se eleva 3 para obtener 3. Parece que la única respuesta es 1 porque cuando y = 1 tenemos 3 = 31.
De hecho, podemos generalizar esta idea en una regla simple ...
El logaritmo de a distinto de cero y no negativo número en el que la base es el número mismo es SIEMPRE igual a 1.
Ejemplo 2: Resolver para x en una ecuación logarítmica log81 = x.
Esta ecuación logarítmica en forma exponencial se escribe como 1 = 8x. ¿Cuál podría ser el valor del exponente x para convertirlo en un enunciado verdadero? Usando la propiedad cero del exponente, b0 = 1, sabemos que cualquier número (excepto cero), cuando se eleva a cero, siempre es igual a 1. Tiene perfecto sentido que en 1 = 8x, el valor debe ser x = 0 porque 80= 1 .
También hay una regla que maneja estos casos cuando intentamos obtener el logaritmo de 1 con cualquier base.
El logaritmo de 1 con cualquier valor de b (b es un número positivo pero b ≠ 1) es SIEMPRE igual a cero (0).
Ejemplo 3: Resolver para k en una ecuación logarítmica log4 (−1) = k.
Transformando en ecuación exponencial, tenemos −1 = 4k. Esto es como una pregunta con "trampa", ¿verdad? Necesitamos encontrar el exponente k para que la ecuación exponencial sea un enunciado verdadero.
¿Existe realmente tal valor? ¡No creo que haya uno! De hecho, no podemos encontrar ningún número con el que podamos elevar 4 para dar -1. Por eso decimos que no hay solución, o indefinida.
El logaritmo de a numero negativo is indefinido.
Ejemplo 4: Resolver para w en una ecuación logarítmica log2 (0) = w.
El último "caso especial" ocurre cuando intentamos encontrar el logaritmo de cero. Convirtiendo esa ecuación logarítmica nuevamente en exponencial obtenemos 0 = 2 semanas. Nos enfrentamos nuevamente a una situación extraña porque queremos elevar la base 2 en algún exponente para que resulte en cero. ¿Existe tal valor? Puedes probar. ¡Pero debería estar de acuerdo en que no existe tal valor! Por lo tanto, este es otro caso en el que nuestra respuesta no está definida o no tiene solución.
El logaritmo de cero is indefinido.
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