La fórmula de la secuencia aritmética

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La fórmula de la secuencia aritmética

Si desea encontrar cualquier término (también conocido como el término {{nth}}) en la secuencia aritmética, el fórmula de secuencia aritmética debería ayudarte a hacerlo. El paso crítico es poder identificar o extraer valores conocidos del problema que eventualmente serán sustituidos en la fórmula misma.

Cuando haya terminado con esta lección, puede consultar mi otra lección sobre la fórmula de la serie aritmética.

Comencemos examinando las partes esenciales de la fórmula:



Partes de la fórmula de secuencia aritmética

Dónde:


grande {a_n} = el término que desea encontrar

grande {a_1} = primer término de la secuencia

grande {n} = la posición del término (p. ej., para el quinto término, n = 5)

grande {d} = diferencia común de cualquier par de números consecutivos o adyacentes

¡Pongamos esta fórmula en acción!

Ejemplos de cómo aplicar la fórmula de secuencia aritmética

Ejemplo 1: Encuentra el término 35 en la secuencia aritmética 3, 9, 15, 21,…

Hay tres cosas necesarias para encontrar el término 35 usando la fórmula:

  • el primer término ({a_1})
  • la diferencia común entre términos consecutivos (d)
  • y el término posición (n)

A partir de la secuencia dada, podemos leer fácilmente el primer término y la diferencia común. La posición del término es solo el valor n en el término {n ^ {th}}, por lo tanto, en el término {35 ^ {th}}, n = 35.


Por tanto, los valores conocidos que sustituiremos en la fórmula aritmética son


Entonces, la solución para encontrar el término faltante es,

Ejemplo 2: Encuentra el término número 125 en la secuencia aritmética 4, −1, −6, −11,…


Esta secuencia aritmética tiene el primer término {a_1} = 4 y una diferencia común de −5.

Como queremos encontrar el término número 125, el valor n sería n = 125. Los siguientes son los valores conocidos que conectaremos a la fórmula:


El término que falta en la secuencia se calcula como,

Ejemplo 3: Si un término en la secuencia aritmética es {a_ {21}} = - 17 y la diferencia común es d = - 3. Encuentre lo siguiente:

a) Escribe una regla que pueda encontrar cualquier término en la secuencia.

b) Encuentra el duodécimo término ({a_ {12}}) y el término ochenta segundos ({a_ {82}}) término.

Solución a la parte a)

Como conocemos un término en la secuencia que es {a_ {21}} = - 17 y la diferencia común d = - 3, el único valor que falta en la fórmula que podemos resolver fácilmente es el primer término, {a_1}.

Como encontramos {a_1} = 43 y sabemos que d = - 3, la regla para encontrar cualquier término en la secuencia es


¿Cómo sabemos realmente si la regla es correcta? Lo que haría es verificarlo con la información dada en el problema que {a_ {21}} = - 17.

Entonces nos preguntamos, ¿qué es {a_ {21}} =?

Sin embargo, ya conocemos la respuesta, pero queremos ver si la regla nos da −17.

Como {a_1} = 43, n = 21 y d = - 3, sustituimos estos valores en la fórmula y luego simplificamos.

¡Lo que hace! Estupendo.

Solución a la parte b)

Para responder a la segunda parte del problema, use la regla que encontramos en la parte a) que es

Aquí están los cálculos uno al lado del otro.

Ejemplo 4: Dados dos términos en la secuencia aritmética, {a_5} = - 8 y {a_ {25}} = 72;

a) Escribe una regla que pueda encontrar cualquier término en la secuencia.

b) Encuentre el término número 100 ({a_ {100}}).

Solución a la parte a)

El problema nos dice que hay una secuencia aritmética con dos términos conocidos que son {a_5} = - 8 y {a_ {25}} = 72. El primer paso es usar la información de cada término y sustituir su valor en la aritmética. fórmula. Tenemos dos términos, así que lo haremos dos veces.

Esto es maravilloso porque tenemos dos ecuaciones y dos variables desconocidas. Podemos resolver este sistema de ecuaciones lineales mediante el método de sustitución o el método de eliminación. Debe aceptar que el método de eliminación es la mejor opción para esto.

Coloque las dos ecuaciones una encima de la otra mientras alinea los términos similares.

Podemos eliminar el término a1 multiplicando Ecuación # 1 por el numero -1 y sumándolos juntos.

Como ya conocemos el valor de una de las dos incógnitas que faltan, que es d = 4, ahora es fácil encontrar el otro valor. Podemos encontrar el valor de {a_1} sustituyendo el valor de d en cualquiera de las dos ecuaciones. Para esto, usemos la Ecuación # 1.

Después de conocer los valores tanto del primer término ({a_1}) como de la diferencia común (d), finalmente podemos escribir la fórmula general de la secuencia.

Solución a la parte b)

Para encontrar el término número 100 ({a_ {100}}) de la secuencia, use la fórmula que se encuentra en la parte a)

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