El concepto principal detrás del método de eliminación es crear términos con coeficientes opuestos porque se cancelan entre sí cuando se suman. Al final, deberíamos lidiar con una ecuación lineal simple para resolver, como una ecuación de un paso en xo en y.
Dos casos ideales del método de eliminación
Puedo resumir las “grandes” ideas sobre el método de eliminación al resolver sistemas de ecuaciones lineales usando las ilustraciones a continuación. Aquí presento dos casos ideales que quiero lograr durante el proceso de resolución. Échales un vistazo y, con suerte, tiene sentido. De lo contrario, vaya directamente a los seis (6) ejemplos resueltos para ver cómo se resuelven los problemas reales.
Caso 1: Al sumar las dos ecuaciones, se elimina la variable "x"
Los coeficientes de variable x son opuestos.
Caso 2: Al sumar las dos ecuaciones, se elimina la variable "y"
Los coeficientes de variable y son opuestos.
Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación
Ejemplo 1: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación.
He observado que agregar la columna x no eliminará la variable x. Sin embargo, si agrego la columna y, la variable y desaparece. Esto sucede porque los coeficientes de y son opuestos entre sí en términos de signos. Ahora, procederé con la segunda opción.
Después de hacerlo, termino con una ecuación fácil.
Divido ambos lados por el coeficiente de x que da la respuesta de x = 4.
El siguiente paso es encontrar el valor correspondiente de y. Esto es fácil de encontrar porque ya sé qué es x. Elegiré cualquiera de las dos ecuaciones originales, que en este caso, elegí la ecuación superior. Luego, introduciré el valor de x = 4 para obtener y. El proceso o procedimiento de resolver para y debería ser similar a continuación.
Aquí obtengo y = -, 4. La respuesta final en notación de puntos se muestra a continuación.
Gráficamente, la solución se ve así.
Ejemplo 2: Resuelve el sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación.
Esto es bastante interesante porque ninguna variable se cancelará cuando se agreguen. Lo que quiero es introducir un multiplicador a una de las ecuaciones, o ambas, y luego observar si llego a unos coeficientes que solo difieren en signos.
Hay algunas formas de hacerlo. Sin embargo, mirando la columna x, puedo convertir fácilmente - 3 en - 12 multiplicando la ecuación superior por + 4. En este punto, puedo continuar con la adición de la columna x.
Multiplicar la ecuación completa por cualquier número distinto de cero no cambia su significado original. Lo que cambiará es solo su forma. A este proceso lo llamo "revisión" o "modificación" de la ecuación.
Esta es una ecuación de un paso, así que resuelvo y dividiendo ambos lados por su coeficiente.
¡Estupendo! Obtuve el valor y = 2. Luego, resolveré x usando la sustitución hacia atrás usando cualquiera de las ecuaciones originales. Para esto, utilizaré la ecuación superior porque es menos complicada.
Obtuve el valor x = - 1. Ahora puedo escribir la respuesta final como el par ordenado escrito a continuación.
El siguiente gráfico verifica que nuestra solución sea correcta.
Ejemplo 3: Utilice el método de eliminación o combinación lineal para resolver.
Hay un giro en este problema porque los coeficientes de x variables son exactamente iguales, en - 2. Lo único que necesito arreglar aquí es hacer que uno de ellos sea positivo. Ahora, decidí multiplicar la ecuación superior por - 1. También debería funcionar bien si multiplico la inferior por - 1.
Debería ver que el plan funciona desde que se agregan los resultados de la columna x a la cancelación de x.
Resolví el valor de y dividiendo ambos lados por - 17, lo que resulta en y = 3. Esta vez, resolveré el valor de x usando la ecuación inferior porque sé qué es y.
Después de algunos pasos para resolver la ecuación anterior, llego a x = 2. La respuesta final como un par ordenado se muestra a continuación.
De hecho, las dos líneas se cruzan en el punto que encontramos en nuestros cálculos.
Ejemplo 4: Utilice el método de eliminación o combinación lineal para resolver.
Este ejemplo sigue la línea del ejemplo 3, donde tenemos exactamente los mismos coeficientes. Veo que la variable y ambas tienen coeficientes de 8. Por lo tanto, tendré que modificarla un poco para que sus signos sean opuestos. Ahora tengo dos opciones sobre cómo proceder. Puedo multiplicar la ecuación superior por - 1 o la inferior por - 1 también. Para este ejercicio, elijo hacer lo último.
Aplicar el multiplicador -1 en la ecuación inferior y sumarlos da como resultado que y desaparezca.
Resuelve la ecuación simple que surge de ella.
Obtuve x = 4 dividiendo ambos lados entre - 9. El siguiente paso obvio es resolver la otra variable y usando sustitución hacia atrás. Elija cualquiera de las ecuaciones originales, sustituya x = 4 y obtendrá y en poco tiempo.
La respuesta es y = -, 1. La respuesta final en el formulario de pares ordenados se muestra a continuación.
La solución gráfica se ve así.
Ejemplo 5: Utilice el método de eliminación o combinación lineal para resolver.
Este tipo de problema requiere que multipliquemos simultáneamente las ecuaciones superior e inferior por algún número para generar coeficientes con signos opuestos.
Si decido eliminar x, puedo multiplicar la ecuación superior por - 2 y la inferior por 9. Al hacerlo, debería terminar con términos x, 18x y - 18x, respectivamente, que se cancelarían cuando se sumaran.
Para este ejercicio, quiero eliminar y. Por lo tanto, multiplicaré la parte superior por 5 y la inferior por 3.
Como se predijo, pude deshacerme de y, lo que nos deja con una ecuación simple para tratar.
Debería llegar a x = 1. Proceda a resolver la otra variable que es y. Reemplaza x = 1 y luego resuelve para y.
Tengo y = -, 2. Poniéndolo juntos, nuestra respuesta final es el par ordenado a continuación.
La representación gráfica de las dos líneas que se cruzan en el punto resuelto es ...
Ejemplo 6: Utilice el método de eliminación o combinación lineal para resolver.
Este último ejemplo es muy similar al anterior. Tal como está, no se eliminarán variables después de sumar las columnas de x e y. Sin embargo, puedo eliminar las variables x multiplicando la primera ecuación por 5 y la segunda por -4, y luego sumarlas. ¡El resto es historia!
Terminaré resolviendo una ecuación simple como se muestra.
Ahora tengo y = 5 después de dividir ambos lados entre 8. Luego sustituiré este valor de y por cualquiera de las ecuaciones originales para resolver el valor de x correspondiente.
Esto produce una respuesta de x = -, 6. La respuesta final debe ser izquierda ({x, y} derecha) = izquierda ({-, 6,5} derecha).
Este punto es donde las dos líneas se cruzan, como se muestra a continuación.
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