Simplificando factoriales con variables

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Simplificando factoriales con variables

En esta lección, aprenderemos cómo simplificar expresiones factoriales con variables encontradas en el numerador y denominador. Queremos generar factores comunes en ambas ubicaciones para que se puedan cancelar. Ese es, en última instancia, nuestro objetivo.

La clave es comparar los factoriales y determinar cuál es de mayor valor. ¡Supongamos que queremos comparar los factoriales de la izquierda ({n + 3} derecha)! e izquierda ({n + 1} derecha)! .

¡Es fácil ver eso a la izquierda ({n + 3} derecha)! > izquierda ({n + 1} derecha)! es cierto para todos los valores de n siempre que el factorial esté definido, es decir, el contenido entre paréntesis sea un número entero mayor o igual a cero.



  • Eso significa que podemos expandir a la izquierda ({n + 3} a la derecha). hasta ese momento la expresión izquierda ({n + 1} derecha)! aparece en la secuencia.

¿Qué tal para la izquierda ({n - 5} derecha)? e izquierda ({n - 2} derecha)! ? Esta vez estamos restando la variable por algún número. La expresión más grande es la que tiene un sustraendo más pequeño, o el valor que se resta del minuendo. Por lo tanto, ¡izquierda ({n - 2} derecha)! > izquierda ({n - 5} derecha)! .


  • ¡Eso implica la expresión izquierda ({n - 2} derecha)! habrá dejado ({n - 5} derecha)! en su forma expandida.

¿Y si tienen diferentes signos?


Obviamente, la expresión factorial más grande es la que tiene la operación de suma.

Por ejemplo, ¡a la izquierda ({n + 1} derecha)! > izquierda ({n - 4} derecha)! .

  • ¡Observe, podemos expandir a la izquierda ({n + 1} a la derecha)! para incluir left ({n - 4} right)! en la secuencia.

Pasos clave sobre cómo simplificar factoriales que involucran variables

  1. Compara los factoriales en el numerador y el denominador.
  2. Expanda el factorial más grande de modo que incluya los más pequeños en la secuencia.
  3. Cancela los factores comunes entre el numerador y el denominador.
  4. Simplifique aún más multiplicando o dividiendo las expresiones sobrantes.

Repasemos seis (6) ejemplos con diferentes niveles de dificultad.


Ejemplos de simplificación de factoriales con variables

Ejemplo 1: Simplificar

Dado que la expresión factorial en el numerador es más grande que el denominador, ¡puedo expandir parcialmente n! hasta que la expresión izquierda ({n - 2} derecha)! muestra cuál es el valor en el denominador. Entonces cancelaré los factores comunes. Aplica la propiedad distributiva para llegar a la respuesta final.


Ejemplo 2: Simplificar


Obviamente, el denominador es más grande que el numerador porque se agrega 3 a “n” en comparación con 1. ¡Mantendré el numerador sin cambios mientras expande el denominador a la izquierda ({n + 3} a la derecha)! hasta que la expresión izquierda ({n + 1} derecha)! aparece en el denominador. Lo que estamos haciendo es emparejar factores comunes para poder cancelarlos. Multiplica los dos binomios del denominador para terminarlo.

Ejemplo 3: Simplificar


¡El numerador a la izquierda ({k + 2} derecha)! se puede expandir en factores que incluirían el denominador a la izquierda ({k - 1} a la derecha). . Al hacerlo, podemos cancelar factores duplicados entre el numerador y el denominador. Multiplica los factores sobrantes: dos binomios y un monomio.

Ejemplo 4: Simplificar

El denominador es la expresión factorial más grande, así que la expandiré de manera que obtenga el numerador. Cancela los factores comunes y multiplica los binomios para llegar a la respuesta final.

Ejemplo 5: Simplificar

¡Expandiré el factorial en el numerador que está a la izquierda ({{x ^ 2} - 4} derecha)! para obtener el factorial en el denominador que está a la izquierda ({{x ^ 2} - 5} a la derecha). para que podamos cancelarlos. Además, dejaré solo el binomio izquierda ({x - 2} derecha) que se encuentra en el denominador. No lo expandas porque no tiene el símbolo factorial.

Después de las cancelaciones, observe que el numerador es un término cuadrático que se puede factorizar en dos binomios.

Es decir, izquierda ({{x ^ 2} - 4} derecha) = izquierda ({x + 2} derecha) izquierda ({x - 2} derecha).

Espero que pueda ver que generamos factores comunes que se pueden cancelar una vez más. Esto simplifica enormemente nuestra respuesta final.

Ejemplo 6: Simplificar

Note que n! está siendo cuadrado en el numerador. Eso significa {izquierda ({n!} Derecha) ^ 2} = izquierda ({n!} Derecha) izquierda ({n!} Derecha). Como parte de nuestra estrategia, también podemos separar el problema original en dos fracciones separadas. Esto nos permite ver mucho mejor lo que está pasando. Realice las ampliaciones necesarias y anule los factores comunes. Simplifica escribiendo la respuesta final como una fracción.

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