El concepto de variación directa se resume en la siguiente ecuación.
Decimos que y varía directamente con x si y se expresa como el producto de algún número constante k y x.
Casos de variación directa
Sin embargo, el valor de k no puede ser igual a cero, es decir, k ne 0.
Caso 1: k> 0 (k es positivo)
Si x aumenta, el valor de y también aumenta, o si x disminuye, el valor de y también disminuye.
Caso 2: k <0 (k es negativo)
Si x aumenta, el valor de y disminuye, o si x disminuye, el valor de y aumenta.
Si aislamos k en un lado, revela que k es la razón constante entre y y x. En otras palabras, dividir y por x siempre produce una salida constante.
k también se conoce como la constante de variación o constante de proporcionalidad.
Ejemplos de variación directa
Ejemplo 1: Indica si y varía directamente con x en la siguiente tabla. Si es así, escribe una ecuación para representar la variación directa.
Solución:
Para mostrar que y varía directamente con x, necesitamos verificar si dividir y por x siempre nos da el mismo valor.
Dado que siempre llegamos al mismo valor de 2 al dividir y por x, podemos afirmar que y varía directamente con x. Este número constante es, de hecho, nuestro k = 2.
Para escribir la ecuación de variación directa, reemplazamos la letra k por el número 2 en la ecuación y = kx.
Cuando se grafica una ecuación que representa la variación directa en el plano cartesiano, es siempre una linea recta pasando por el origen.
Piense en ello como la forma pendiente-intersección de una línea escrita como
y = mx + b donde b = 0
Aquí está la gráfica de la ecuación que encontramos arriba.
Ejemplo 2: Indica si y varía directamente con x en la siguiente tabla. Si es así, escribe una ecuación para representar la variación directa.
Solución:
Divida cada valor de y por el valor correspondiente de x.
El cociente de y y x es siempre k = -, 0.25. Eso significa que y varía directamente con x. Aquí está la ecuación que representa su variación directa.
Aquí está el gráfico. Tener un valor negativo de k implica que la recta tiene pendiente negativa. Como puede ver, la línea disminuye de izquierda a derecha.
Además, dado que k es negativo vemos que cuando x aumenta, el valor de y disminuye.
Ejemplo 3: Indica si y varía directamente con x en la tabla. Si es así, escriba la ecuación que muestre variación directa.
Solución:
Encuentre la razón de y y x, y vea si podemos obtener una respuesta común a la que llamaremos constante k.
Parece que el valor k en la tercera fila es diferente del resto. Para que sea una variación directa, todos deben tener el mismo valor k.
La mesa no representa variación directa, por lo tanto, no podemos escribir la ecuación para variación directa.
Ejemplo 4: Dado que y varía directamente con x. Si x = 12 entonces y = 8.
- Escribe la ecuación de variación directa que relaciona x e y.
- ¿Cuál es el valor de y cuando x = -, 9?
a) Escribe la ecuación de variación directa que relaciona x e y.
Dado que y varía directamente con x, escribiría inmediatamente la fórmula para poder ver qué está pasando.
Se nos da la información de que cuando x = 12 entonces y = 8. Sustituye los valores de x e y en la fórmula y resuelve k.
Reemplaza la “k” en la fórmula por el valor resuelto anteriormente para obtener la ecuación de variación directa que relaciona x e y.
b) ¿Cuál es el valor de y cuando x = -, 9?
Para resolver y, sustituya x = -, 9 en la ecuación que se encuentra en la parte a).
Ejemplo 5: Si y varía directamente con x, calcule el valor perdido de x en
Solución:
Usaremos el primer punto para encontrar la constante de proporcionalidad k y para establecer la ecuación y = kx.
Sustituye los valores de x y y para resolver k.
La ecuación de proporcionalidad directa que relaciona xey es ...
Ahora podemos resolver x en (x, -, 18) sustituyendo y = -, 18.
Ejemplo 6: La circunferencia de un círculo (C) varía directamente con su diámetro. Si un círculo con un diámetro de 31.4 pulgadas tiene un radio de 5 pulgadas,
- Escribe la ecuación de variación directa que relaciona la circunferencia y el diámetro de un círculo.
- ¿Cuál es el diámetro del círculo con un radio de 7 pulgadas?
a) Escribe la ecuación de variación directa que relaciona la circunferencia y el diámetro de un círculo.
No tenemos que usar la fórmula y = k, x todo el tiempo. Pero podemos usarlo para crear una configuración similar dependiendo de lo que pregunte el problema.
El problema nos dice que la circunferencia de un círculo varía directamente con su diámetro, podemos escribir la siguiente ecuación de proporcionalidad directa.
No se proporciona el diámetro, pero sí el radio. Dado que el radio se da como 5 pulgadas, eso significa que podemos encontrar el diámetro porque es igual al doble de la longitud del radio. Esto nos da 10 pulgadas para el diámetro.
La ecuación de proporcionalidad directa que relaciona la circunferencia y el diámetro se muestra a continuación. Observe que k se reemplaza por el valor numérico 3.14.
b) ¿Cuál es el diámetro de un círculo con un radio de 7 pulgadas?
Dado que la ecuación requiere el diámetro y no el radio, primero debemos convertir el valor del radio en diámetro. Recuerde que el diámetro es el doble de la medida de un radio, por lo tanto, 7 pulgadas de radio es igual a 14 pulgadas de diámetro.
Ahora, sustituimos d = 14 en la fórmula para obtener la respuesta de la circunferencia.
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