En este artículo, vamos a aprender otro tipo especial de ángulo que se forma cuando las líneas paralelas o no paralelas son intersecadas por una línea transversal.
Como saben, las líneas paralelas son dos o más líneas que nunca se encuentran, mientras que una línea transversal es una línea recta que interseca dos o más líneas paralelas.
Para conocer las otras definiciones relacionadas de ángulos y diferentes tipos de ángulos, puedes consultar los artículos anteriores.
¿Cuáles son los ángulos alternos internos?
Los ángulos alternos internos son ángulos formados cuando dos líneas paralelas o no paralelas son intersecadas por una transversal. Los ángulos se colocan en las esquinas interiores de las intersecciones y se encuentran en lados opuestos de la transversal.
Los ángulos alternos internos son iguales si las líneas intersectadas por la transversal son paralelas. Los ángulos alternos internos formados cuando una transversal cruza dos líneas no paralelas no tienen relación geométrica. Por lo tanto, es necesario discutir los ángulos aquí.
Ilustración de ángulos alternos internos:
Considere la figura anterior.
PQ y RS son las dos líneas paralelas intersecadas por la línea transversal. Por lo tanto, los pares de ángulos alternos internos son:
- ∠a y ∠ d
- ∠b y ∠
Por tanto, ∠a = ∠ d y ∠b = ∠c.
Podemos hacer las siguientes observaciones sobre ángulos alternos internos:
- Los ángulos alternos internos son congruentes.
- Los ángulos interiores consecutivos son suplementarios. Los ángulos interiores consecutivos son ángulos interiores que están en el mismo lado de la línea transversal.
- Los ángulos alternos internos no tienen propiedades específicas en el caso de líneas no paralelas.
Teorema de ángulos alternos internos
El teorema de los ángulos alternos internos establece que los ángulos alternos internos son congruentes cuando la transversal interseca dos líneas paralelas.
Prueba del teorema de ángulos alternos internos
Dado: Línea PQ // RS
Para demostrar: ∠ a = ∠d y ∠b = ∠c
Dado que sabemos que los ángulos correspondientes y los ángulos verticales son iguales a cada uno cuando
una transversal cruza dos líneas paralelas cualesquiera. Por lo tanto,
∠g = ∠c ………. (i) [Ángulos correspondientes]
∠g = ∠b ………. (ii) [Ángulos verticalmente opuestos]
De la ecuación (i) y (ii), obtenemos;
∠b = ∠c [ángulos alternos internos]
De manera similar, los
∠a = ∠d
Por lo tanto, está probado.
Cómo encontrar ángulos alternos internos
Los ángulos alternos internos se pueden calcular usando propiedades de las líneas paralelas.
ejemplo 1
Dados dos ángulos (4x - 19) 0 y (3x + 16) 0 son ángulos internos alternos congruentes. Encuentre el valor de x y también determine el valor del otro par de ángulos alternos internos,
Solución
⇒ 4x - 19 = 3x + 16
⇒ 4x - 3x = 19 + 16
x = 35
Por lo tanto, x = 350
(4x - 19) 0 ⇒ 4 (35) - 19 = 1210
Dado que, los ángulos formados en el mismo lado de la transversal son ángulos suplementarios. Entonces, el valor del otro par de ángulos alternos internos es;
⇒ 1800-1210 = 590
ejemplo 2
Dos ángulos interiores consecutivos son (2x + 10) ° y (x + 5) °. Calcula la medida de los ángulos.
Solución
Los ángulos interiores consecutivos son suplementarios.
⇒ (2x + 10) ° + (x + 5) ° = 180 °
⇒ 2x + 10 + x + 5 = 180
⇒ 3x + 15 = 180
Resta 15 de ambos lados.
⇒ 3x = 165
Divide ambos lados entre 3.
x = 55
Por tanto, los ángulos interiores consecutivos son:
⇒ (2x + 10) ° = [2 (55) + 10] ° = 120 °
⇒ (x + 5) ° = 55 + 5 ° = 60 °
ejemplo 3
Si (2x + 26) ° y (3x - 33) ° son ángulos alternos internos que son congruentes, halla la medida de los dos ángulos.
Soluciones
Los ángulos internos alternativos son iguales, así que tenemos
⇒ (2x + 26) ° = (3x - 33) °
⇒ 2x + 26 = 3x - 33
x = 59
La medida de los ángulos es 144 °.
ejemplo 4
Encuentra el valor de x dado que (3x + 20) ° y 2x ° son ángulos interiores consecutivos.
Solución
Los ángulos interiores consecutivos son suplementarios, por lo tanto;
⇒ (3x + 20) ° + 2x ° = 180 °
⇒3x + 20 + 2x = 180
⇒ 5x + 20 = 180
Resta 20 de ambos lados
⇒ 5x = 160
Divide cada lado entre 8.
x = 32
Por tanto, el valor de x es 32 grados.
Los ángulos interiores consecutivos son, por tanto, 60 ° y 120 °.
Aplicaciones de ángulos alternos interiores
- La aplicación más famosa de ángulos alternos internos es un famoso escritor científico griego, Eratóstenes, que usa ángulos alternos internos para demostrar que la Tierra es redonda.
- Las ventanas, con cristales divididos por mun-tins, tienen los ángulos interiores alternos.
- En una letra Z, las líneas horizontales superior e inferior son paralelas y la línea diagonal es transversal. Entonces, hay dos ángulos alternos internos en una letra Z.
