En conjuntos y teoría de conjuntos, dos de los conceptos más fundamentales son la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos. Estos dos conceptos construyen la base de los conjuntos y dan origen a la representación pictórica de conjuntos en los diagramas de Venn. La batalla entre unión e intersección es prolongada y solo puede entenderse fortaleciendo nuestro concepto de unión e intersección de conjuntos.
La unión de conjuntos es el conjunto conjunto que contiene los elementos de todos los conjuntos, mientras que la intersección de conjuntos es el conjunto que contiene solo los elementos comunes presentes entre los conjuntos.
Este artículo hará una recapitulación del concepto de unión de conjuntos e intersección de conjuntos, ya que ya hemos cubierto estos temas en detalle en nuestros artículos anteriores. También realizaremos una comparación frontal de la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos.
En este artículo, cubriremos los siguientes temas:
- ¿Qué es la unión de conjuntos?
- Representación del diagrama de Venn de la unión de conjuntos.
- ¿Qué es la intersección de conjuntos?
- Representación del diagrama de Venn de la intersección de conjuntos.
- Intersección Unión Vs.
- Ejemplos.
- Problemas de práctica.
Antes de seguir adelante, puede considerar actualizar sus conocimientos sobre los siguientes requisitos previos:
- Descripción de conjuntos
- Establece la notación
- Subconjunto
- Conjunto universal
¿Qué es la Unión de Conjuntos?
Siempre que encontramos algún problema relacionado con conjuntos, las dos operaciones más ampliamente aplicadas son la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos. En esta sección, repasaremos el concepto de unión de conjuntos.
La unión de conjuntos se define como la fusión de dos conjuntos de modo que el nuevo conjunto contenga todos los elementos presentados individualmente en los dos conjuntos. También podemos decir que la unión del conjunto es un conjunto que contiene tanto los elementos presentes en el primer conjunto como en el segundo conjunto.
Para comprender mejor el concepto de unión, considere el siguiente ejemplo.
ejemplo 1
Considere los siguientes dos conjuntos:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
Encuentra su sindicato.
Solución
La unión del conjunto es un nuevo conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos individuales. La unión de estos dos conjuntos, A y B, incluirá los elementos {1, 2, 3, 4, 5}.
Notación para unión de conjuntos
Para cada operación en la teoría de conjuntos, se especifica una notación especial para cada operación. Lo mismo ocurre con la unión de conjuntos. Para indicar la unión entre dos conjuntos, se utiliza el símbolo 'U'. Este símbolo es la notación para la unión de conjuntos entre dos o más conjuntos.
Considere dos conjuntos, A y B. La unión de estos conjuntos se da como:
AUB
Podemos extender la operación de unión a un grupo de conjuntos que contengan más de 2 conjuntos. Considere cuatro conjuntos, a saber, A, B, C y D. La unión de estos cuatro conjuntos se da como:
AUBUCUD
Consideremos un ejemplo con respecto a la unión de conjuntos.
ejemplo 2
Considere los siguientes conjuntos:
A = {3, 4, 5}
B = {2, 4, 6}
C = {3, 6, 9}
Encuentra su sindicato.
Solución
La unión de estos tres conjuntos se da como:
AUBUC
Encontrar la unión:
AUBUC = {3, 4, 5} U {2, 4, 6} U {3, 6, 9}
AUBUC = {3, 4, 5, 2, 6} U {3, 6, 9}
AUBUC = {3, 4, 5, 2, 6, 9}
Esto indica la unión de los tres conjuntos A, B y C.
Representación del diagrama de Venn de la unión de conjuntos
Unión de conjuntos es la operación que muestra los elementos combinados de todos los conjuntos. Tomemos dos conjuntos, A y B, para representar la unión de conjuntos mediante diagramas de Venn.
Sea A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e, i, o, u}. La unión de estos dos conjuntos, A y B, contendrá todos los elementos individualmente. Su unión se da de la siguiente manera:
AUB = {a, b, c, d, e, i, o, u}
Podemos representar la unión de conjuntos mediante diagramas de Venn. Después de representar cada conjunto con un círculo y encerrarlos en el conjunto rectangular universal, su unión se puede representar sombreando las regiones A y B. Para obtener más información sobre el conjunto universal, considere nuestro tema anterior, 'Conjunto universal'.
Para entender esto, tomemos los conjuntos A y B. Sabemos que su unión es la siguiente:
AUB = {a, b, c, d, e, i, o, u}
Para representar esto con un diagrama de Venn, usaremos dos círculos, uno para el conjunto A y otro para el conjunto B. El conjunto universal U, en este caso, es el conjunto de alfabetos al que pertenecerían ambos conjuntos A y B. A continuación se muestra la representación del diagrama de Venn de la unión:
Toda la región sombreada en azul muestra la unión de los dos conjuntos, A y B. Aunque la superposición todavía existe en el diagrama de Venn, la región superpuesta también estará sombreada del mismo color que los dos conjuntos para indicar la unión.
A continuación se muestra un ejemplo relacionado con este concepto.
ejemplo 3
Considere un conjunto A = {3, 6, 9, 12} y conjunto B = {0, 3, 5, 8, 12}. Muestre la unión de A y B a través del diagrama de Venn. Establezca U = {conjunto de números enteros hasta 20}.
Solución
La unión de los dos conjuntos A y B se da como:
A = {3, 6, 9, 12}
Y,
B = {0, 3, 5, 8, 12}
Entonces la unión es:
AUB = {0, 3, 5, 6, 8, 9, 12}
Esta unión se puede representar mediante el diagrama de Venn de la siguiente manera:
¿Qué es la intersección de conjuntos?
Ahora que hemos cubierto la unión de conjuntos, pasemos al segundo tema sobre la intersección de conjuntos.
La intersección de conjuntos se utiliza para indicar los elementos comunes compartidos por dos o más conjuntos. En otras palabras, podemos decir que el conjunto que representa la intersección de conjuntos incluye los elementos que pertenecen a cualquier conjunto A pero también son parte de cualquier conjunto B. Entonces, podemos concluir que la intersección de conjuntos indica los elementos comunes entre los conjuntos.
El concepto de intersección no se limita solo a dos conjuntos. También podemos extenderlo a tres, cuatro o más conjuntos.
Para comprender la intersección de conjuntos, considere el siguiente ejemplo.
ejemplo 3
Considere los siguientes conjuntos:
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6, 9}
Encuentra la intersección de estos dos conjuntos.
Solución
La intersección indica los elementos comunes compartidos por los dos conjuntos. Al analizar, el elemento común compartido por estos dos conjuntos es solo uno, y ese elemento es 6. Entonces, la intersección de los conjuntos A y B es {6}.
Notación para la intersección de conjuntos
La intersección de conjuntos es un concepto importante en la teoría de conjuntos. Por lo tanto, merece una notación adecuada. El símbolo '∩' se utiliza para indicar la intersección entre conjuntos. Este símbolo indica la intersección entre dos conjuntos cualesquiera, digamos A y B.
Considere dos conjuntos cualesquiera, A y B. Su intersección se da como:
A ∩ B
El concepto de intersección no se limita a solo dos conjuntos. Puede extenderse a un grupo de conjuntos. Considere un grupo de conjuntos que contiene los conjuntos A, B, C y D. La intersección entre estos conjuntos se da como:
A ∩ B ∩ C ∩ D
Resolvamos un ejemplo relacionado con la intersección de conjuntos.
ejemplo 4
Considere los siguientes conjuntos:
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6, 9}
C = {6, 12}
Encuentra su intersección.
Solución
La intersección de estos tres conjuntos se da como:
A ∩ B ∩ C
Puede evaluarse como,
UNA ∩ B ∩ C = {2, 4, 6} ∩ {3, 6, 9} ∩ {6, 12}
A ∩ B ∩ C = {6}
Esto representa la intersección entre los tres conjuntos A, B y C.
Representación del diagrama de Venn de la intersección de conjuntos
La intersección de conjuntos es la operación que muestra elementos comunes entre conjuntos. Por ejemplo, si A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e, i, o, u}, entonces su intersección es la siguiente:
A ∩ B = {a, e}
Donde 'a' y 'e' son los únicos dos elementos comunes entre los conjuntos A y B.
También podemos representar la intersección de conjuntos a través de diagramas de Venn. Después de representar cada conjunto con un círculo y encerrarlos en el conjunto universal rectangular, su intersección se puede representar a través de la superposición de los dos círculos.
Para entender esto mejor, consideremos los conjuntos A y B anteriores. Determinamos la intersección entre estos conjuntos A y B, que es la siguiente:
A ∩ B = {a, e}
Para representarlos con un diagrama de Venn, usaremos dos círculos, uno para el conjunto A y otro para el conjunto B. El conjunto universal U, en este caso, es el conjunto de alfabetos al que pertenecerían ambos conjuntos A y B. A continuación se muestra la representación del diagrama de Venn de la intersección:
El área sombreada en azul representa la intersección entre A y B.
A continuación se muestra un ejemplo relacionado con este concepto.
ejemplo 5
Considere un conjunto A = {3, 6, 9, 12} y conjunto B = {0, 3, 5, 8, 12}. Muestre la intersección entre A y B a través del diagrama de Venn. Establezca U = {conjunto de números enteros hasta 20}.
Solución
La intersección entre los dos conjuntos A y B se puede determinar como:
A = {3, 6, 9, 12}
Y,
B = {0, 3, 5, 8, 12}
La intersección es:
A ∩ B = {3, 12}
La representación del diagrama de Venn para la intersección entre los conjuntos A y B es:
Intersección Unión Vs
Ahora que hemos cubierto los conceptos de unión de conjuntos e intersección de conjuntos, pasemos a su comparación. Para comparar dos de las operaciones de conjuntos más fundamentales, veremos las propiedades compartidas por estas dos operaciones. Para eso, consideraremos cualquier conjunto finito, a saber, A, y manejaremos sus relaciones con el conjunto vacío ?.
Unión:
La unión de cualquier conjunto finito A con un conjunto vacío siempre establecerá A por sí mismo.
Se puede representar de la siguiente manera:
AU? = A
Intersección:
La intersección de cualquier conjunto finito A con un conjunto vacío siempre dará como resultado un conjunto vacío.
Se puede representar de la siguiente manera:
A ∩ =?
Resolvamos un ejemplo que constituye ambas operaciones.
ejemplo 6
Considere un conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. ¿Impulsar las relaciones de este conjunto A con un conjunto vacío ?.
Solución
La relación de cualquier conjunto finito con un conjunto vacío se puede representar mediante dos operaciones de conjunto vitales; establecer unión y establecer intersección.
La unión se da como:
AU? = {1, 2, 3, 4, 5} U?
AU? = {1, 2, 3, 4, 5}
AU? = A
Del mismo modo, la intersección se da como:
¿A ∩? = {1, 2, 3, 4, 5} ∩?
¿A ∩? =?
¿A ∩? =?
Para fortalecer aún más el concepto de unión versus intersección, considere los siguientes problemas de práctica.
Problemas de práctica
- Encuentre la unión de los conjuntos {22, 33, 44, 55} y {66, 44, 22}.
- Encuentre la intersección de los conjuntos {3, 5, 6, 7}, {3, 5}, {2, 1}.
- Muestre la representación del diagrama de Venn de los conjuntos anteriores.
- Considere un conjunto finito A = {conjunto de alfabetos}. Conduce las relaciones de este conjunto finito con un conjunto vacío.
- Sea A = {x: x es un múltiplo de 5 hasta 45}. Encuentre su unión e intersección con un conjunto vacío.
respuestas
- {22, 33, 44, 55, 66, 22}
- Conjunto nulo
- A, ⲫ
- A, ⲫ
